Juanjo Mates

Vamos a ver como resolver ecuaciones donde la incognita es una matriz. Veamos un primer ejemplo sencillo \[2X-B=C\] En este caso podemos resolver exactamente de la misma forma que con una ecuación con números reales \[2X=C+B\] \[X=\dfrac{1}{2} (C+B)\] Ahora sólo queda hacer las operaciones con las matrices. Vamos a suponer que los valores de B y C son \[B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \\ \end{pmatrix}, \; \; C=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \] y la matriz X la obtenemos operando \[X=\dfrac{1}{2} \cdot \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \right]\] \[X=\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{-3}{2} & \frac{7}{2} \\ \end{pmatrix} \] ¿Qué ocurre cuando el coeficiente de la matriz incognita es una matriz cuadrada? Supongamos que tenemos la ecuación \[AX+B=C\] donde B y C...

Tabla de Integrales

Dada la función \(f(x)=\frac{1}{x^2}+1\), trazamos la recta tangente en un punto \((a,f(a))\) del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forma un triangulo rectangulo. Buscar el valor de \(a\) para el que el área del triangulo es mínima. Veamos una representación gráfica de la función y una de las posibles rectas tangentes \ Vemos como la recta tangente forma un triangulo rectangulo con los ejes de coordenadas. La base del triangulo es la abscisa del punto de corte de la recta con el eje OX en el caso del dibujo 2, y la altura del triangulo es la ordenada del punto de corte de la recta con el eje OY en el caso del dibujo es 4. Vamos ahora a considerar el caso para un punto cualquiera \(x=a\). La recta tangente en \(x=a\) la calculamos a partir de la expresión \[y-f(a)=f^\prime (x-a)\] Calculamos \(f(a)\) y \(f^\prime(a)\) \[f(a)=\dfrac{1}{a^2} +1\] \[f^\prime(x)= - \dfrac{2}{x^3}\] \[f^\prime(a)= - \dfrac{2}{a^3}\] Sustituyendo en la fórmula obtenemos...

Pequeño ejemplo de resolución de una integral mediante cambio de variable.

Veamos un ejemplo de resolución de un problema de optimización. En este caso el ejercicio procede de un examen de selectividad del año 2007 en Cataluña.

Dentro del conjunto de integrales que son inmediatas también las hay de funciones compuestas. En este caso vamos a centrarnos en \[\int (f(x))^n \cdot f^\prime (x) \, dx = \dfrac{(f(x))^{n+1}}{n+1} + C, \; n \neq -1 \] Es fácil ver que derivando el lado derecho mediante el uso de la regla de la cadena obtenemos la función que hay dentro de la integral. Una integral casi inmediata esuna integral que mediante alguna manipulación se puede transformar en una integral inmediata de este tipo. Veamos un ejemplo

Enunciado: Dada la función \( f(x)=\frac{1}{2} - \sin(x)\) calcular el área del recinto delimitado por la gráfica de la función y el eje de abscisas entre \( x=0\) y \( x=-\frac{\pi}{2}\). Resolución: Tenemos planteado un problema de cálculo de área mediante integración. En primer lugar vamos a determinar los puntos de corte de la función \( f(x)\) con el eje de abscisas en el intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}]\). Encontramos estos punto igualando la función a cero \[\dfrac{1}{2} - \sin(x)=0 \Rightarrow \dfrac{1}{2}= \sin(x) \] Para encontrar el valor de x calculamos el arcoseno de \( \frac{1}{2}\), que es \(\frac{\pi}{6}\) (Importante, las medidas angulares se deben expresar en radianes) y esta es la única solución que hay entre 0 y \( \frac{\pi}{2}\). Hemos buscado este punto, porque en este punto la gráfica de la función corta al eje de abscisas y por lo tanto la función cambia de signo. Si integramos directamente la integral entre 0 y \( \frac{\pi}{2}\) no encontraremos el valor real...

Las integrales más fáciles de resolver son las de tipo potencial \(x^n\) \[\boxed{\int x^{n} \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, \; (n \neq -1)}\] Utilizando esto y las propiedades de la integral podemos integrar cualquier función polinómica \[\int 2x^3 - 5x^2 +3x-1 \, dx = 2 \dfrac{x^4}{4} - 5 \dfrac{x^3}{3} + 3 \dfrac{x^2}{2} -x +C\] La cosa no tiene ninguna dificultad. Utilizando esto también podemos integrar funciones que no son polinomios, consideremos por ejemplo \[\int \dfrac{x}{\sqrt[4]{x^3}} - \dfrac{2}{\sqrt{x}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx\] Recordando que \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\) y que \( \frac{1}{x^n}=x^{-n}\) podemos reducir la función que tenemos a una suma de funciones potenciales que ya sabemos como integrar \[\int \dfrac{x}{x^{\frac{3}{4}}} - \dfrac{2}{x^{\frac{1}{2}}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx \] El primer término \( \frac{x}{x^{\frac{3}{4}}}\) es un cociente de dos potencias con la misma base, por lo tanto el resultado es una potencia con la misma base y un exponente qu...

La fórmula de integración por partes Sean \( f\) y \( g\) dos funciones con derivadas \( f^\prime\) y \( g^\prime\), entonces la integral \( \int f(x) g^\prime (x) \, dx\) se puede descomponer de la forma siguiente \[\int f(x) g^\prime (x) \, dx=f(x) g(x) - \int f^\prime(x) g(x) \, dx \] llamada fórmula de integración por partes. Es habitual encontrar esta fórmula en los libros escrita de la forma siguiente \[\int u dv=uv -\int vdu\] donde se ha hecho \(u=f(x), du=f^\prime(x) \,dx\) y \(v=g(x), dv=g^\prime(x) \,dx\). Hay una regla nemotécnica para recordar esta fórmula, consiste en la siguiente frase donde la primera letra de cada palabra coincide con una de las letras de la fórmula \[\text{Un Día Ví Una Vaca Vestida De Uniforme}\] Veamos a continuación algunos casos sencillos de aplicación Integral de función potencial x función exponencial Veamos como realizar con este método la integral \[\int x e^x \,dx\] Vemos que tenemos un producto de dos funciones, en estos casos podemos pensar...

Las integrales de seno y coseno son inmediatas. Si queremos integrar las funciones \( \sin^2(x)\) y \( \cos^2(x)\) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas \[\cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\] \[\sin^2(x)= \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\] De esta forma reducimos eliminamos el cuadrado y tenemos unas integrales fáciles de resolver \[\int \cos^2(x) \, dx = \int \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \int dx + \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx=\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int 2 \cos(2x) \,dx=\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4} +C\] De la misma forma se integra el seno cuadrado, simplemente cambia un signo  \[\int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1-\cos(2x)}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \int dx - \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx=\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int 2 \cos(2x) \,dx=\dfrac{x}{2} -\dfrac{\sin(2x)}{4} +C\]

Ecuación vectorial de la recta Para definir una recta en el espacio vamos a necesitar un punto \( P=(x_0,y_0,z_0)\) que pertenezca a ella y un vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) con la misma dirección que la recta llamado vector director de la recta En el dibujo de arriba vemos que hemos puesto el origen del vector \(\vec{v}\) en el punto P, de forma que el vector apuntará a otro punto de la recta que podemos denominar como \(Q\). Si multiplicamos el vector por un número real \(\lambda\) obtenemos un vector \(\lambda \cdot \vec{v}\) que también estará sobre la recta pero tendrá una longitud distinta de forma que apuntará a otro punto distinto de la recta. Es decir que para cada punto de la recta existe un número real \( \lambda\) tal que el vector \( \lambda \cdot \vec{v}\) con origen en \(P\) apunta hacía el punto de la recta que hemos elegido. Esta es la idea de la ecuación de la recta, para obtener una ecuación debemos utilizar el vector de posición de un punto que recordemos que es ...

En el cálculo de la integral \[I(x)=\displaystyle \int \sqrt{1-x^2} \, dx\] utilizamos un cambio de variable trigonométrico basado en la relación fundamental de la trigonometria Relación fundamental de la Trigonometría: \[\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)=1\] si escribimos \[\cos(\theta) =\sqrt{1-\sin^2(\theta)}\] Vemos que tenemos una expresión parecida a lo que tenemos en el interior de la integral. Así pues la idea es realizar el cambio \[x=\sin(t)\] \[dx=\cos(t) \, dt\] Sustituyendo en la integral tenemos \[\int \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t) \, dt = \int \cos^2(t) \, dt\] Mediante este cambio de variable hemos eliminado la raíz y hemos obtenido la integral del coseno cuadrado. Para integrar esta (y también el seno cuadrado) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas Integración de \( \cos^2 (x)\) y \( \sin^2(x)\) \[\cos^2(x) = \dfrac{1+ \cos (2x)}{2}\] \[\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\] En nuestro caso aplicamos la relación para coseno cuadrado de forma que nuestra i...

Una de las principales aplicaciones del teorema de Bolzano es la aproximación de soluciones de ecuaciones. Vamos a intentar aproximar el valor de la abscisa del punto de corte entre las gráficas de las funciones \( y=x\) y \(y=e^{-x} \). Para ello igualamos las dos funciones y obtenemos la ecuación \[x=e^{-x}\] Si realizamos la gráfica de las funciones \(y=x\) y \(e^{-x}\) vemos que se cortan en un punto y ese punto de corte es la solución de la ecuación Mediante el análisis gráfico llegamos a la conclusión que existe una única solución para esta ecuación, pero no la podemos determinar de forma exacta ya que no podemos aislar \(x\) en la ecuación anterior. Si definimos la función \(f(x)=e^{-x}-x\) las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\) son los valores de \(x\) en los puntos de corte de la gráfica de \(f(x)\) con el eje \(OX\). En este punto recordemos que nos dice el Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \( [a,b]\) y que cumple \( \...

En esta entrada vamos a hablar de como calcular los puntos de la gráfica de una función derivable donde la recta tangente a la gráfica es perpendicular a una recta \(y=mx+n\). Este tipo de ejercicio es muy parecido al que vimos en la entrada anterior Cálculo de los puntos donde la recta tangente es paralela a una recta dada . En el caso presente debemos recordar que si tenemos una recta con pendiente \(m\) una recta perpendicular a ella va a tener pendiente \(-\dfrac{1}{m}\). Como la pendiente de la recta tangente \(f(x)\) en un punto \(x\) es la derivada \(f^\prime (x)\) y queremos que sea tangente a la recta \(y=mx+n\) vamos a plantear la ecuación \[f^\prime (x) =-\dfrac{1}{m}\] Veamos un ejemplo práctico: Sean \(f(x)=\dfrac{x}{1+x}\) y \(-x-y+2=0\) una función y una recta. Vamos a buscar en que puntos la tangente a \(f(x)\) es perpendicular a la recta. La pendiente de la recta la encontramos escribiéndola de forma explícita, es decir poniendo la \(y\) en función de la \(x\) \[y=-x+2...

Ya hemos visto como calcular la ecuación de la recta tangente en otra entrada Cálculo de la ecuación de la recta tangente . Otro tipo de problema muy común es buscar en que puntos la recta tangente es paralela a una recta dada \( y=mx+n\). Recordemos de primero de bachillerato que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, la pendiente de la recta tangente en un punto de abscisa \(x\) es la derivada \( f^\prime (x)\) y la pendiente de la recta que nos dan es \(m\). Entonces los puntos donde la recta tangente es paralela a la recta \( y=mx+n\) son aquellos en que las pendientes coinciden, es decir que para encontrar esos puntos vamos a plantear la ecuación \[f^\prime (x) =m \] Veamos un ejemplo, elegimos la función \(f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}\) y vamos a buscar en que puntos la recta tangente es paralela a la recta de ecuación \(-2x-y-1=0\). Veamos la gráfica de la recta y de la función En primer lugar para encontrar la pendiente de la recta debemos expresar la ecuación de la recta e...

En esta entrada vamos a hablar de como calcular la recta tangente a la gráfica de una función en un punto de abscisa x=a. Recordemos que la interpretación geométrica de la derivada nos dice que la derivada de la función \( f(x)\) en un punto con abscisa \( x=a\) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto \( (a,f(a))\). Recordemos que la ecuación de una recta con pendiente \(m\) que pasa por un punto \((x_0,y_0)\) puede escribirse de la forma siguiente \[y-y_0 = m (x-x_0)\] Bien, en el caso de la recta tangente a la gráfica de la función \( f(x)\) la recta debe ser tangente a la gráfica de la función en el punto \( (a,f(a))\) y la pendiente de la recta es la derivada \( f^\prime (a)\).Así pues la ecuación de la recta anterior queda para la recta tangente como \[y-f(a)=f^\prime (a) (x-a)\] Veamos un ejemplo, dada la función \( f(x)=\dfrac{x}{e^x}\) vamos a calcular la recta tangente a \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=0\). Vamos a aplicar la fórmula ant...

En este entrada vamos a ver como hacer el cálculo de derivadas utilizando la definición. Recordemos que la derivada de una función \(f(x)\) en un punto x=a se define como \[f^\prime(a) = \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\] o la equivalente \[f^\prime(a) = \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\] Vamos a utilizar la primera expresión para calcular por ejemplo la derivada de \( f(x)= \sqrt{x}\) en \( x=1\).Si aplicamos la definición tenemos el límite \[f^\prime(1) =\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+h} - 1}{h}=\dfrac{0}{0} \; \text{IND}\] Vemos que en este caso nos aparece una indeterminación \( 0/0\). Para resolverla multiplicamos numerador y denominador por \( \sqrt{1+h} + 1\), el conjugado del numerador, que es el término que presenta la raíz \[\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+h} - 1}{h}= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sqrt{1+h} +1)(\sqrt{1+h} - 1)}{h (\sqrt{1+h} +1)}=\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{1+h-1}{...

En esta entrada vamos a ver como podemos derivar funciones del tipo \( f(x)=g(x)^{h(x)}\) como por ejemplo \(f(x)=x^{\sin(x)}\).Si observamos las reglas de derivación que conocemos es evidente que ninguna de ellas se ajusta a este caso, así que hay que pensar en otra cosa.Lo que se hace es aprovechar las propiedades de la función logaritmo, está es una función creciente y tiene la propiedad \( \ln(a^b)=b \ln(a)\). En primer lugar escribimos nuestra función \[f(x)=x^{\sin(x)}\] Ahora aplicamos logaritmos a los dos lados de la expresión \[\ln[f(x)]=\ln [x^{\sin(x)}]\] La propiedad \( \ln(a^b)=b \ln(a)\) del logaritmo nos permite extraer el exponente \( \sin(x)\) fuera del logaritmo \[\ln[f(x)]=\sin(x)\cdot \ln (x)\] de forma que en el lado derecho tenemos un producto de funciones que si sabemos derivar.El siguiente paso es derivar de forma implícita los dos lados de esta ecuación, es decir derivamos ambos lados respecto de \(x\) \[\dfrac{f^\prime (x)}{f(x)} = \cos(x) \cdot \ln(x) +...