Juanjo Mates

Pequeño ejemplo de resolución de una integral mediante cambio de variable.

En el cálculo de la integral \[I(x)=\displaystyle \int \sqrt{1-x^2} \, dx\] utilizamos un cambio de variable trigonométrico basado en la relación fundamental de la trigonometria Relación fundamental de la Trigonometría: \[\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)=1\] si escribimos \[\cos(\theta) =\sqrt{1-\sin^2(\theta)}\] Vemos que tenemos una expresión parecida a lo que tenemos en el interior de la integral. Así pues la idea es realizar el cambio \[x=\sin(t)\] \[dx=\cos(t) \, dt\] Sustituyendo en la integral tenemos \[\int \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t) \, dt = \int \cos^2(t) \, dt\] Mediante este cambio de variable hemos eliminado la raíz y hemos obtenido la integral del coseno cuadrado. Para integrar esta (y también el seno cuadrado) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas Integración de \( \cos^2 (x)\) y \( \sin^2(x)\) \[\cos^2(x) = \dfrac{1+ \cos (2x)}{2}\] \[\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\] En nuestro caso aplicamos la relación para coseno cuadrado de forma que nuestra i...