Resolución de Integrales Inmediatas (funciones potenciales)

Las integrales más fáciles de resolver son las de tipo potencial \(x^n\)

\[\boxed{\int x^{n} \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, \; (n \neq -1)}\]

Utilizando esto y las propiedades de la integral podemos integrar cualquier función polinómica
\[\int 2x^3 - 5x^2 +3x-1 \, dx = 2 \dfrac{x^4}{4} - 5 \dfrac{x^3}{3} + 3 \dfrac{x^2}{2} -x +C\]


La cosa no tiene ninguna dificultad. Utilizando esto también podemos integrar funciones que no son polinomios, consideremos por ejemplo
\[\int \dfrac{x}{\sqrt[4]{x^3}} - \dfrac{2}{\sqrt{x}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx\]

Recordando que \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\) y que \( \frac{1}{x^n}=x^{-n}\) podemos reducir la función que tenemos a una suma de funciones potenciales que ya sabemos como integrar
\[\int \dfrac{x}{x^{\frac{3}{4}}} - \dfrac{2}{x^{\frac{1}{2}}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx \]

El primer término \( \frac{x}{x^{\frac{3}{4}}}\) es un cociente de dos potencias con la misma base, por lo tanto el resultado es una potencia con la misma base y un exponente que es la resta de los exponentes de numerador y denominador
\[\frac{x}{x^{\frac{3}{4}}}= x^{1- \frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{4}}\]

Ahora la integral queda de la forma siguiente
\[\int x^{\frac{1}{4}} - 2x^{-\frac{1}{2}}-3x^{-2} \, dx\]

es decir en forma de suma de funciones potenciales que ya sabemos como se integran
\[\int x^{\frac{1}{4}} - 2x^{-\frac{1}{2}}-3x^{-2} \, dx= \dfrac{x^{\frac{1}{4} +1}}{\frac{1}{4} +1} -2 \dfrac{x^{-\frac{1}{2} +1}}{-\frac{1}{2} + 1} - 3 \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} +C=\]
\[=\dfrac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} -4x^{\frac{1}{2}} +3x^{-1} + C = \boxed{\dfrac{4}{5} \sqrt[4]{x^5}-4\sqrt{x} + \dfrac{3}{x} +C}\]

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