Recta tangente II: Cálculo de los puntos donde la recta tangente es paralela a una recta dada

Ya hemos visto como calcular la ecuación de la recta tangente en otra entrada Cálculo de la ecuación de la recta tangente . Otro tipo de problema muy común es buscar en que puntos la recta tangente es paralela a una recta dada \( y=mx+n\). Recordemos de primero de bachillerato que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, la pendiente de la recta tangente en un punto de abscisa \(x\) es la derivada \( f^\prime (x)\) y la pendiente de la recta que nos dan es \(m\). Entonces los puntos donde la recta tangente es paralela a la recta \( y=mx+n\) son aquellos en que las pendientes coinciden, es decir que para encontrar esos puntos vamos a plantear la ecuación
\[f^\prime (x) =m \]

Veamos un ejemplo, elegimos la función \(f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}\) y vamos a buscar en que puntos la recta tangente es paralela a la recta de ecuación \(-2x-y-1=0\). Veamos la gráfica de la recta y de la función

En primer lugar para encontrar la pendiente de la recta debemos expresar la ecuación de la recta en forma explícita, es decir la \(y\) en función de la \(x\)
\[y=-2x-1\]

Una vez hecho esto la pendiente de la recta es el coeficiente de la \(x\) es decir \(m=-2\). Por otro lado tenemos que derivar la función para encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto \(x\)
\[f^\prime(x) = \dfrac{1 \cdot \ln(x) - x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2(x)} = \dfrac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)}\]


Como ya hemos razonado al principio, el paso siguiente es igualar la derivada con la pendiente de la recta
\[\dfrac{\ln(x) -1 }{\ln^2(x)}=-2 \Rightarrow \ln(x)-1=-2\ln^2(x) \Rightarrow 2\ln^2(x) + \ln(x) -1=0\]

La ecuación que hemos obtenido es de segundo grado respecto de la incógnita \(\ln(x)\)
\[\ln(x)=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}= \dfrac{-1 \pm 3}{4}=\left\lbrace \begin{array}{c}
\dfrac{-1 + 3}{4}=\dfrac{1}{2} \\
\\
\dfrac{-1 -3}{4}=-1\\
\end{array}\right.
\]

A partir de estas soluciones para \(\ln(x)\) podemos encontrar las soluciones para la incógnita \(x\)
\[\ln(x)=\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=e^{\frac{1}{2}} =\sqrt{e}\]
\[\ln(x)=-1 \Rightarrow x=e^{-1} =\dfrac{1}{e}\]

Donde hemos utilizado que la función exponencial \(e^x\) es la inversa del logaritmo neperiano.Con esto tenemos la solución, las rectas tangentes a \(f(x)\) paralelas a la recta \(-2x-y-1=0\) son las tangentes en \(x=\sqrt{e}\) y \(x=\dfrac{1}{e}\). Si calculamos la recta tangente en estos puntos obtenemos

  1. \(y=-2x+4 \sqrt{e}\)
  2. \(y=-2x+\dfrac{1}{e}\)

y su representación gráfica

donde hemos representado en rojo las rectas tangentes.


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