Recta tangente II: Cálculo de los puntos donde la recta tangente es paralela a una recta dada

Ya hemos visto como calcular la ecuación de la recta tangente en otra entrada Cálculo de la ecuación de la recta tangente . Otro tipo de problema muy común es buscar en que puntos la recta tangente es paralela a una recta dada $y=mx+n$. Recordemos de primero de bachillerato que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, la pendiente de la recta tangente en un punto de abscisa $x$ es la derivada $f^\prime (x)$ y la pendiente de la recta que nos dan es $m$. Entonces los puntos donde la recta tangente es paralela a la recta $y=mx+n$ son aquellos en que las pendientes coinciden, es decir que para encontrar esos puntos vamos a plantear la ecuación
$$f^\prime (x) =m$$

Veamos un ejemplo, elegimos la función $f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}$ y vamos a buscar en que puntos la recta tangente es paralela a la recta de ecuación $-2x-y-1=0$. Veamos la gráfica de la recta y de la función

En primer lugar para encontrar la pendiente de la recta debemos expresar la ecuación de la recta en forma explícita, es decir la $y$ en función de la $x$
$$y=-2x-1$$

Una vez hecho esto la pendiente de la recta es el coeficiente de la $x$ es decir $m=-2$. Por otro lado tenemos que derivar la función para encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto $x$
$$f^\prime(x) = \dfrac{1 \cdot \ln(x) - x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2(x)} = \dfrac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)}$$


Como ya hemos razonado al principio, el paso siguiente es igualar la derivada con la pendiente de la recta
$$\dfrac{\ln(x) -1 }{\ln^2(x)}=-2 \Rightarrow \ln(x)-1=-2\ln^2(x) \Rightarrow 2\ln^2(x) + \ln(x) -1=0$$

La ecuación que hemos obtenido es de segundo grado respecto de la incógnita $\ln(x)$
$$\ln(x)=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}= \dfrac{-1 \pm 3}{4}=\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{-1 + 3}{4}=\dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{-1 -3}{4}=-1\\ \end{array}\right.$$

A partir de estas soluciones para $\ln(x)$ podemos encontrar las soluciones para la incógnita $x$
$$\ln(x)=\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=e^{\frac{1}{2}} =\sqrt{e}$$
$$\ln(x)=-1 \Rightarrow x=e^{-1} =\dfrac{1}{e}$$

Donde hemos utilizado que la función exponencial $e^x$ es la inversa del logaritmo neperiano.Con esto tenemos la solución, las rectas tangentes a $f(x)$ paralelas a la recta $-2x-y-1=0$ son las tangentes en $x=\sqrt{e}$ y $x=\dfrac{1}{e}$. Si calculamos la recta tangente en estos puntos obtenemos

1. $y=-2x+4 \sqrt{e}$
   
2. $y=-2x+\dfrac{1}{e}$
   

y su representación gráfica

donde hemos representado en rojo las rectas tangentes.