Juanjo Mates

(1) ¿Qué es una progresión aritmética? Pensemos en la lista de los números impares: 1,3,5,7,9,11, ... Vemos que dado un impar para encontrar el siguiente impar de la lista hay que sumar un 2. Este es un ejemplo de progresión aritmética, una sucesión numérica donde para calcular cada valor debemos sumar un valor fijo al valor anterior. El valor fijo que sumamos se llama diferencia que en el caso anterior de los números impares es 2. Para generar una progresión también necesitamos fijar el primer valor. (2) Término general de una progresión aritmética Cuando tenemos una sucesión númerica indicamos de formaa simbólica sus elementos de la forma siguiente \[a_1, a_2, ..., a_n, ...\] Así \(a_1\) es el primer término de la sucesión, \(a_2\) es el segundo y así sucesivamente. \(a_n\) representa el término situado en una posición \(n\). El término general de la progresión es una expresión que nos permite calcular cualquier término de la progresión, en el caso de las progresiones aritmétic...

En esta entrada vamos a hablar de una de las formas de simplificar radicales. Pensemos por ejemplo en el caso \(\sqrt[3]{81}\), el número 81 factoriza de la forma siguiente \(81=3^4\) y por lo tanto tenemos \[\sqrt[3]{3^4}\] Bien, vemos que tenemos dentro de la raíz una potencia cuarta, y como el exponente es mayor que el índice de la raíz podemos pensar en reescribir está potencia como un producto de potencias en el que aparezca un cubo, es decir \[\sqrt[3]{3^3 \cdot 3}\] Ahora recordemos que la raíz de un producto es producto de raíces y por lo tanto podemos escribir \[\sqrt[3]{3^3 \cdot 3}=\underbrace{\sqrt[3]{3^3 }}_{\text{raíz exacta}} \cdot \sqrt[3]{3}=3 \sqrt[3]{3}\] Y con esto hemos llegado a que la raíz cúbica de 81 es equivalente al triple de la raíz cúbica de tres.Veamos otro ejemplo, consideremos en este caso la raíz cuadrada de 128. El número 128 factoriza como \(128=2^7\) y siguiendo el ejemplo inicial lo que vamos a hacer en este caso es hacer grupos de cuadrados \(...

En esta entrada vamos a hablar de los logaritmos, el logaritmo en base \( a \) de un número \( y \) es el número \( x\) que cumple \( y=a^x\), es decir que el logaritmo nos da el exponente que al que debemos elevar la base \( a\) para obtener \( y\). La notación que se utiliza es \( \log_{a} (y)=x\). Podemos resumir todo esto mediante de la forma siguiente \[\log_a (y)=x \Leftrightarrow a^x=y\] Así por ejemplo es fácil ver que \( \log_2 (8)=3\) porque \(2^3 =8\). En ciertos casos podemos calcular logaritmos sin necesidad de calculadora si sabemos como expresar el número del que queremos calcular el logaritmo como potencia con la base del logaritmo. Por ejemplo \(\log_{5} \sqrt[3]{5}\), en este caso la raíz cúbica de 5 puede expresarse como una potencia en base 5 \(\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\), y si observamos la definición de logaritmo vemos que ya hemos acabado el trabajo puesto que el logaritmo es el exponente de esta potencia \[\log_5 (\sqrt[3]{5})= \log_5 (5^{\frac{1}{3}})=\dfr...

Imaginemos que tenemos el número real \(\frac{3}{\sqrt{5}}\), vemos que en el denominador tenemos una raíz cuadrada.Racionalizar significa buscar una expresión equivalente sin el radical en el denominador.Lo podemos conseguir fácilmente multiplicando numerador y denominador por \(\sqrt{5}\) $$\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5^2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$$ Consideremos ahora un caso un poco distinto, por ejemplo \[\dfrac{3}{\sqrt[4]{5}}\] En este caso para eliminar el radical vamos a necesitar que dentro de la raíz haya una potencia cuarta, en este caso la forma de hacer esto es la siguiente, multiplicamos y dividimos por \(\sqrt[4]{5^3}\).¿por qué el 5 está elevado al cubo? Observemos que cuando multipliquemos \(\sqrt[4]{5}\) por \(\sqrt[4]{5^3}\) vamos a obtener la raíz cuarta de una potencia cuarta \(\sqrt[4]{5^4}=5\).Procedamos pues a multiplicar numerador y denominador por \(\sqrt[4]{5^3}\) \[\dfrac{3}{\sqrt[4]{5...