Resolución de un problema de optimización (Selectividad 2007, Cataluña)
Veamos un ejemplo de resolución de un problema de optimización. En este caso el ejercicio procede de un examen de selectividad del año 2007 en Cataluña.
Teorema de Bolzano: Aplicación en la resolución de ecuaciones
Una de las principales aplicaciones del teorema de Bolzano es la aproximación de soluciones de ecuaciones. Vamos a intentar aproximar el valor de la abscisa del punto de corte entre las gráficas de las funciones \( y=x\) y \(y=e^{-x} \). Para ello igualamos las dos funciones y obtenemos la ecuación \[x=e^{-x}\] Si realizamos la gráfica de las funciones \(y=x\) y \(e^{-x}\) vemos que se cortan en un punto y ese punto de corte es la solución de la ecuación Mediante el análisis gráfico llegamos a la conclusión que existe una única solución para esta ecuación, pero no la podemos determinar de forma exacta ya que no podemos aislar \(x\) en la ecuación anterior. Si definimos la función \(f(x)=e^{-x}-x\) las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\) son los valores de \(x\) en los puntos de corte de la gráfica de \(f(x)\) con el eje \(OX\). En este punto recordemos que nos dice el Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \( [a,b]\) y que cumple \( \...
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