Resolución de Ecuaciones con Matrices

Vamos a ver como resolver ecuaciones donde la incognita es una matriz. Veamos un primer ejemplo sencillo \[2X-B=C\] En este caso podemos resolver exactamente de la misma forma que con una ecuación con números reales \[2X=C+B\] \[X=\dfrac{1}{2} (C+B)\] Ahora sólo queda hacer las operaciones con las matrices. Vamos a suponer que los valores de B y C son \[B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \\ \end{pmatrix}, \; \; C=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \] y la matriz X la obtenemos operando \[X=\dfrac{1}{2} \cdot \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \right]\] \[X=\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{-3}{2} & \frac{7}{2} \\ \end{pmatrix} \] ¿Qué ocurre cuando el coeficiente de la matriz incognita es una matriz cuadrada? Supongamos que tenemos la ecuación \[AX+B=C\] donde B y C son las matrices anteriores y A es la matriz \[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \] En primer lugar dejamos AX en un lado de la misma forma que en el primer ejemplo \[AX=C-B\] Ahora tenemos que dejar la X sola en una lado, para ello hay que eliminar la A del lado izquierdo. ¿Cómo podemos hacer esto? La respuesta es utilizando la matriz inversa de A (si es que existe) \[A^{-1} AX =A^{-1} (C-B)\] El producto \(A^{-1} A\) es la matriz identidad y la identidad por X es X, por lo tanto \[X=A^{-1} (C-B)\] Es muy importante el orden de los productos ya que recordemos que el producto de matrices no es conmutativo, si hemos multiplicado la \(A^{-1}\) por la izquierda en el lado izquierdo de la ecuación, debemos mantener el mismo orden en el lado derecho de la ecuación. La matriz inversa de A es la matriz \[A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix} \] Y por lo tanto la matrix X es \[X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \\ \end{pmatrix} \right]=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -9 & 3 \\ \end{pmatrix} \] Debido a la no conmutatividad del producto de matrices la ecuación \[XA+B=C\] no es equivalente a la anterior ya que en este caso hay que multiplicar la inversa de A por la derecha. Veamos \[XA=C-B\] \[XA\,A^{-1}=(C-B)A^{-1}\] \[X=(C-B)A^{-1}\] \[X= \left[\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \\ \end{pmatrix} \right]\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 5 \\ \end{pmatrix} \] Y vemos que efectivamente el resultado es distinto al de la ecuación anterior.