Como encontrar la ecuación de la recta en el espacio

Ecuación vectorial de la recta


Para definir una recta en el espacio vamos a necesitar un punto \( P=(x_0,y_0,z_0)\) que pertenezca a ella y un vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) con la misma dirección que la recta llamado vector director de la recta


En el dibujo de arriba vemos que hemos puesto el origen del vector \(\vec{v}\) en el punto P, de forma que el vector apuntará a otro punto de la recta que podemos denominar como \(Q\). Si multiplicamos el vector por un número real \(\lambda\) obtenemos un vector \(\lambda \cdot \vec{v}\) que también estará sobre la recta pero tendrá una longitud distinta de forma que apuntará a otro punto distinto de la recta. Es decir que para cada punto de la recta existe un número real \( \lambda\) tal que el vector \( \lambda \cdot \vec{v}\) con origen en \(P\) apunta hacía el punto de la recta que hemos elegido. Esta es la idea de la ecuación de la recta, para obtener una ecuación debemos utilizar el vector de posición de un punto que recordemos que es el vector que tiene como origen el origen de coordenadas y como extremo el punto considerado
\[\vec{r}_P=\vec{OP}\]

Consideremos un punto \(Q\) cualquiera de la recta con vector de posición \(\vec{r}_Q=\vec{OQ}\), entonces existe un único número real \( \lambda\) tal que
\[\vec{OQ}= \vec{OP} +\lambda \cdot \vec{v}\]

Veámoslo gráficamente

La ecuación que hemos obtenido aquí se llama ecuación vectorial de la recta. Si la escribimos mediante las coordenadas de los vectores tenemos
\[(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0) + \lambda \cdot (v_1, v_2, v_3)\]

Para cada \( \lambda\) tenemos las coordenadas de uno de los puntos de la recta.

Ecuaciones paramétricas de la recta


Si tenemos la ecuación vectorial de la recta y operamos en el lado derecho obtenemos
\[(x,y,z)=(x_0 + \lambda \cdot v_1, y_0 + \lambda \cdot v_2, z_0 + \lambda \cdot v_3)\]

Igualdad que podemos separar en tres igualdades distintas, una para cada coordenada
\[\left\lbrace \begin{array}{l}
x=x_0 + \lambda \cdot v_1\\
y=y_0 + \lambda \cdot v_2\\
z=z_0 + \lambda \cdot v_3\\
\end{array}\right.
\]

Estas tres ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de la recta.

Ecuación continua de la recta


Finalmente si aislamos en cada ecuación paramétrica el parámetro \(\lambda\) e igualamos obtenemos la siguiente igualdad
\[\dfrac{x-x_0}{v_1}=\dfrac{y-y_0}{v_2}=\dfrac{z-z_0}{v_3}\]

denominada ecuación continua de la recta.

Ejemplo


Vamos a buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( P=(1,-3,1)\) y \( Q=(-2,0,-1)\). Como vector director de la recta utilizamos el vector \(\vec{v}=\vec{PQ}\)
\[\vec{v}=\vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}=(-2,0,-1) - (1,-3,1)=(-3,3,-2)\]

Una vez hecho esto sólo tenemos que escribir las ecuaciones que hemos visto anteriormente
\[(x,y,z)=(1,-3,1) + \lambda \cdot (-3,3,-2)\]

\[\left\lbrace \begin{array}{l}
x=1 -3\lambda\\
y=-3 + 3\lambda \\
z=1 -2 \lambda \\
\end{array}\right.\]


\[\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z-1}{-2}\]


Para escribir la ecuación podemos utilizar cualquiera de los dos puntos de que disponíamos.


Cálculo de una recta paralela


Dada una recta \(r:\frac{x-1}{2}= \frac{y+1}{3}=\frac{z+2}{1}\) para buscar una recta sparalela a r que pase por un punto \( Q=(1,0,1)\) sólo tenemos que elegir como vector director de la recta ya que la recta s queda definida al desplazar el vector \( \vec{v}\) hasta el punto \( Q\)

Así pues la ecuación de la recta s es

\[s: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-1}{1}\]






Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Teorema de Bolzano: Aplicación en la resolución de ecuaciones

Imagen
Una de las principales aplicaciones del teorema de Bolzano es la aproximación de soluciones de ecuaciones. Vamos a intentar aproximar el valor de la abscisa del punto de corte entre las gráficas de las funciones \( y=x\) y \(y=e^{-x} \). Para ello igualamos las dos funciones y obtenemos la ecuación \[x=e^{-x}\] Si realizamos la gráfica de las funciones \(y=x\) y \(e^{-x}\) vemos que se cortan en un punto y ese punto de corte es la solución de la ecuación Mediante el análisis gráfico llegamos a la conclusión que existe una única solución para esta ecuación, pero no la podemos determinar de forma exacta ya que no podemos aislar \(x\) en la ecuación anterior. Si definimos la función \(f(x)=e^{-x}-x\) las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\) son los valores de \(x\) en los puntos de corte de la gráfica de \(f(x)\) con el eje \(OX\). En este punto recordemos que nos dice el Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \( [a,b]\) y que cumple \( \...
Leer más

Problema de Optimización de Bachillerato, Selectividad (Selectividad Cataluña 2020)

Imagen
Dada la función \(f(x)=\frac{1}{x^2}+1\), trazamos la recta tangente en un punto \((a,f(a))\) del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forma un triangulo rectangulo. Buscar el valor de \(a\) para el que el área del triangulo es mínima. Veamos una representación gráfica de la función y una de las posibles rectas tangentes \ Vemos como la recta tangente forma un triangulo rectangulo con los ejes de coordenadas. La base del triangulo es la abscisa del punto de corte de la recta con el eje OX en el caso del dibujo 2, y la altura del triangulo es la ordenada del punto de corte de la recta con el eje OY en el caso del dibujo es 4. Vamos ahora a considerar el caso para un punto cualquiera \(x=a\). La recta tangente en \(x=a\) la calculamos a partir de la expresión \[y-f(a)=f^\prime (x-a)\] Calculamos \(f(a)\) y \(f^\prime(a)\) \[f(a)=\dfrac{1}{a^2} +1\] \[f^\prime(x)= - \dfrac{2}{x^3}\] \[f^\prime(a)= - \dfrac{2}{a^3}\] Sustituyendo en la fórmula obtenemos...
Leer más