Como resolver integrales con el método de integración por partes

La fórmula de integración por partes

Sean $f$ y $g$ dos funciones con derivadas $f^\prime$ y $g^\prime$, entonces la integral $\int f(x) g^\prime (x) \, dx$ se puede descomponer de la forma siguiente

$$\int f(x) g^\prime (x) \, dx=f(x) g(x) - \int f^\prime(x) g(x) \, dx$$

llamada fórmula de integración por partes. Es habitual encontrar esta fórmula en los libros escrita de la forma siguiente

$$\int u dv=uv -\int vdu$$

donde se ha hecho $u=f(x), du=f^\prime(x) \,dx$ y $v=g(x), dv=g^\prime(x) \,dx$. Hay una regla nemotécnica para recordar esta fórmula, consiste en la siguiente frase donde la primera letra de cada palabra coincide con una de las letras de la fórmula
$$\text{Un Día Ví Una Vaca Vestida De Uniforme}$$

Veamos a continuación algunos casos sencillos de aplicación

Integral de función potencial x función exponencial

Veamos como realizar con este método la integral

$$\int x e^x \,dx$$

Vemos que tenemos un producto de dos funciones, en estos casos podemos pensar en el método de integración por partes. Para aplicar la fórmula simplemente debemos decidir quien es $u$ y quien $dv$ ya que la integral de la que partimos corresponde a $\int udv$ en la fórmula. En este caso vamos siempre vamos a identificar $u$ con la función potencial, en este caso $x$, ya que así en la integral del lado derecho de la fórmula nos va a aparecer su derivada que será de menor orden

$$\begin{array}{lcl} u=x & & du=1 \cdot dx =dx \\ & & \\ dv=e^x\,dx & & v=e^x \; \text{(Primitiva de \(e^x\))}\\ \end{array}$$

Aplicando la fórmula, nuestra integral original se puede descomponer como
$$\int x e^x\, dx =xe^x - \int e^x \,dx$$

de forma que obtenemos en el lado derecho una integral inmediata

$$\int x e^x\, dx =xe^x -e^x +C$$

Aprovechando este resultado vamos a calcular la integral

$$\int x^2 e^x \, dx$$

Igual que antes la función potencial será $u$

$$\begin{array}{lcl} u=x^2 & & du=1 \cdot dx =2x \,dx \\ & & \\ dv=e^x\,dx & & v=e^x \; \text{(Primitiva de \(e^x\))}\\ \end{array}$$

aplicando la fórmula de integración por partes

$$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x -2 \int x e^x \, dx$$

y la integral del lado derecho es la que hemos resuelto como primer ejemplo, así que sólo tenemos que sustituir para encontrar el resultado


$$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x -2 (x e^x -e^x) + C$$

Integral del logaritmo neperiano

La integral del logaritmo neperiano se resuelve con el método de integración por partes

$$\int \ln(x) \, dx$$

En este caso elegimos $u=\ln(x)$ ya que así en la otra integral va a aparecer su derivada $\frac{1}{x}$, y como $dv$ elegimos $1 \cdot dx$ ya que $ln(x)\, dx$ puede escribirse como $\ln(x) cdot 1 \,dx$

$$\begin{array}{lcl} u=\ln(x) & & du=\frac{1}{x} \,dx \\ & & \\ dv=1\,dx & & v=x \; \text{(Primitiva de \(1\))}\\ \end{array}$$

$$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx = x\ln(x) - \int dx= x\ln(x) -x +C$$

Integral de arcotangente

La integral de la función arcotangente se resuelve de forma parecida a la integral del logaritmo neperiano

$$\int \arctan(x) \, dx$$

elegimos $u=\arctan(x)$ y $dv=1 \cdot dx$

$$\begin{array}{lcl} u=\arctan(x) & & du=\frac{1}{1+x^2} \,dx \\ & & \\ dv=1\,dx & & v=x \; \text{(Primitiva de \(1\))}\\ \end{array}$$

$$\int \arctan(x) \,dx = x \cdot \arctan(x) - \int \dfrac{x}{1+x^2} \, dx$$

la integral que aparece en el lado derecho es casi inmediata, simplemente multiplicando y dividiendo por 2 obtenemos una integral inmediata de tipo logarítmico ya que el numerador será la derivada del denominador

$$\int \arctan(x) \,dx = x \cdot \arctan(x) - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2x}{1+x^2} \, dx= x \cdot \arctan(x) - \dfrac{1}{2} \ln |1+x^2| +C$$

Integral de arcoseno

La integral del arcoseno se realiza de la misma forma que la del arcotangente, elegimos como $u=\arcsin(x)$ y $dv=1 \,dx$

$$\int \arctan(x) \, dx$$

elegimos $u=\arctan(x)$ y $dv=1 \cdot dx$

$$\begin{array}{lcl} u=\arcsin(x) & & du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx \\ & & \\ dv=1\,dx & & v=x \; \text{(Primitiva de \(1\))}\\ \end{array}$$

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes
$$\int \arcsin(x)\, dx= x \cdot \arcsin(x) - \int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$

Resolvemos ahora la integral que aparece en el segundo lado de la ecuación
$$\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx =\int x\, (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \,dx$$

se trata de nuevo de una intergal casi inmediata que se transforma en inmediata si multiplicamos y dividimos por -2, ya que de esta forma conseguimos -2x que es la derivada de la función que hay dentro de la raíz
$$-\dfrac{1}{2} \,\int -2x\, (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \,dx =-\dfrac{1}{2} \dfrac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+ C=-\sqrt{1-x^2} + C$$

Sustituyendo este resultado en la fórmula de integración por partes obtenemos el resultado de la integral inicial
$$\int \arcsin(x)\, dx= x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C$$