Como resolver integrales con el método de integración por partes

La fórmula de integración por partes


Sean \( f\) y \( g\) dos funciones con derivadas \( f^\prime\) y \( g^\prime\), entonces la integral \( \int f(x) g^\prime (x) \, dx\) se puede descomponer de la forma siguiente

\[\int f(x) g^\prime (x) \, dx=f(x) g(x) - \int f^\prime(x) g(x) \, dx \]

llamada fórmula de integración por partes. Es habitual encontrar esta fórmula en los libros escrita de la forma siguiente

\[\int u dv=uv -\int vdu\]

donde se ha hecho \(u=f(x), du=f^\prime(x) \,dx\) y \(v=g(x), dv=g^\prime(x) \,dx\). Hay una regla nemotécnica para recordar esta fórmula, consiste en la siguiente frase donde la primera letra de cada palabra coincide con una de las letras de la fórmula
\[\text{Un Día Ví Una Vaca Vestida De Uniforme}\]

Veamos a continuación algunos casos sencillos de aplicación

Integral de función potencial x función exponencial


Veamos como realizar con este método la integral

\[\int x e^x \,dx\]

Vemos que tenemos un producto de dos funciones, en estos casos podemos pensar en el método de integración por partes. Para aplicar la fórmula simplemente debemos decidir quien es \(u\) y quien \(dv\) ya que la integral de la que partimos corresponde a \(\int udv\) en la fórmula. En este caso vamos siempre vamos a identificar \(u\) con la función potencial, en este caso \(x\), ya que así en la integral del lado derecho de la fórmula nos va a aparecer su derivada que será de menor orden

\[\begin{array}{lcl}

u=x & & du=1 \cdot dx =dx \\

& & \\

dv=e^x\,dx & & v=e^x \; \text{(Primitiva de \(e^x\))}\\
\end{array}\]

Aplicando la fórmula, nuestra integral original se puede descomponer como
\[\int x e^x\, dx =xe^x - \int e^x \,dx\]

de forma que obtenemos en el lado derecho una integral inmediata

\[\int x e^x\, dx =xe^x -e^x +C\]

Aprovechando este resultado vamos a calcular la integral

\[\int x^2 e^x \, dx\]

Igual que antes la función potencial será \(u\)

\[\begin{array}{lcl}

u=x^2 & & du=1 \cdot dx =2x \,dx \\

& & \\

dv=e^x\,dx & & v=e^x \; \text{(Primitiva de \(e^x\))}\\
\end{array}\]

aplicando la fórmula de integración por partes

\[\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x -2 \int x e^x \, dx\]

y la integral del lado derecho es la que hemos resuelto como primer ejemplo, así que sólo tenemos que sustituir para encontrar el resultado


\[\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x -2 (x e^x -e^x) + C\]


Integral del logaritmo neperiano


La integral del logaritmo neperiano se resuelve con el método de integración por partes

\[\int \ln(x) \, dx\]

En este caso elegimos \( u=\ln(x)\) ya que así en la otra integral va a aparecer su derivada \( \frac{1}{x}\), y como \(dv\) elegimos \(1 \cdot dx\) ya que \(ln(x)\, dx\) puede escribirse como \(\ln(x) cdot 1 \,dx\)

\[\begin{array}{lcl}

u=\ln(x) & & du=\frac{1}{x} \,dx \\

& & \\

dv=1\,dx & & v=x \; \text{(Primitiva de \(1\))}\\
\end{array}\]

\[\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx = x\ln(x) - \int dx= x\ln(x) -x +C\]


Integral de arcotangente


La integral de la función arcotangente se resuelve de forma parecida a la integral del logaritmo neperiano

\[\int \arctan(x) \, dx \]

elegimos \( u=\arctan(x)\) y \( dv=1 \cdot dx\)

\[\begin{array}{lcl}

u=\arctan(x) & & du=\frac{1}{1+x^2} \,dx \\

& & \\

dv=1\,dx & & v=x \; \text{(Primitiva de \(1\))}\\
\end{array}\]

\[\int \arctan(x) \,dx = x \cdot \arctan(x) - \int \dfrac{x}{1+x^2} \, dx\]

la integral que aparece en el lado derecho es casi inmediata, simplemente multiplicando y dividiendo por 2 obtenemos una integral inmediata de tipo logarítmico ya que el numerador será la derivada del denominador

\[\int \arctan(x) \,dx = x \cdot \arctan(x) - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2x}{1+x^2} \, dx= x \cdot \arctan(x) - \dfrac{1}{2} \ln |1+x^2| +C\]

Integral de arcoseno


La integral del arcoseno se realiza de la misma forma que la del arcotangente, elegimos como \(u=\arcsin(x)\) y \(dv=1 \,dx\)

\[\int \arctan(x) \, dx \]

elegimos \( u=\arctan(x)\) y \( dv=1 \cdot dx\)

\[\begin{array}{lcl}

u=\arcsin(x) & & du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx \\

& & \\

dv=1\,dx & & v=x \; \text{(Primitiva de \(1\))}\\
\end{array}\]

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes
\[\int \arcsin(x)\, dx= x \cdot \arcsin(x) - \int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \]

Resolvemos ahora la integral que aparece en el segundo lado de la ecuación
\[\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx =\int x\, (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \,dx\]

se trata de nuevo de una intergal casi inmediata que se transforma en inmediata si multiplicamos y dividimos por -2, ya que de esta forma conseguimos -2x que es la derivada de la función que hay dentro de la raíz
\[-\dfrac{1}{2} \,\int -2x\, (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \,dx =-\dfrac{1}{2} \dfrac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+ C=-\sqrt{1-x^2} + C\]

Sustituyendo este resultado en la fórmula de integración por partes obtenemos el resultado de la integral inicial
\[\int \arcsin(x)\, dx= x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C\]


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