Juanjo Mates

Vamos a ver como resolver ecuaciones donde la incognita es una matriz. Veamos un primer ejemplo sencillo \[2X-B=C\] En este caso podemos resolver exactamente de la misma forma que con una ecuación con números reales \[2X=C+B\] \[X=\dfrac{1}{2} (C+B)\] Ahora sólo queda hacer las operaciones con las matrices. Vamos a suponer que los valores de B y C son \[B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \\ \end{pmatrix}, \; \; C=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \] y la matriz X la obtenemos operando \[X=\dfrac{1}{2} \cdot \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \right]\] \[X=\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{-3}{2} & \frac{7}{2} \\ \end{pmatrix} \] ¿Qué ocurre cuando el coeficiente de la matriz incognita es una matriz cuadrada? Supongamos que tenemos la ecuación \[AX+B=C\] donde B y C...

Dada la función \(f(x)=\frac{1}{x^2}+1\), trazamos la recta tangente en un punto \((a,f(a))\) del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forma un triangulo rectangulo. Buscar el valor de \(a\) para el que el área del triangulo es mínima. Veamos una representación gráfica de la función y una de las posibles rectas tangentes \ Vemos como la recta tangente forma un triangulo rectangulo con los ejes de coordenadas. La base del triangulo es la abscisa del punto de corte de la recta con el eje OX en el caso del dibujo 2, y la altura del triangulo es la ordenada del punto de corte de la recta con el eje OY en el caso del dibujo es 4. Vamos ahora a considerar el caso para un punto cualquiera \(x=a\). La recta tangente en \(x=a\) la calculamos a partir de la expresión \[y-f(a)=f^\prime (x-a)\] Calculamos \(f(a)\) y \(f^\prime(a)\) \[f(a)=\dfrac{1}{a^2} +1\] \[f^\prime(x)= - \dfrac{2}{x^3}\] \[f^\prime(a)= - \dfrac{2}{a^3}\] Sustituyendo en la fórmula obtenemos...

Enunciado: Dada la función \( f(x)=\frac{1}{2} - \sin(x)\) calcular el área del recinto delimitado por la gráfica de la función y el eje de abscisas entre \( x=0\) y \( x=-\frac{\pi}{2}\). Resolución: Tenemos planteado un problema de cálculo de área mediante integración. En primer lugar vamos a determinar los puntos de corte de la función \( f(x)\) con el eje de abscisas en el intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}]\). Encontramos estos punto igualando la función a cero \[\dfrac{1}{2} - \sin(x)=0 \Rightarrow \dfrac{1}{2}= \sin(x) \] Para encontrar el valor de x calculamos el arcoseno de \( \frac{1}{2}\), que es \(\frac{\pi}{6}\) (Importante, las medidas angulares se deben expresar en radianes) y esta es la única solución que hay entre 0 y \( \frac{\pi}{2}\). Hemos buscado este punto, porque en este punto la gráfica de la función corta al eje de abscisas y por lo tanto la función cambia de signo. Si integramos directamente la integral entre 0 y \( \frac{\pi}{2}\) no encontraremos el valor real...