Recta tangente III: Cálculo de los puntos donde la recta tangente es perpendicular a una recta dada

En esta entrada vamos a hablar de como calcular los puntos de la gráfica de una función derivable donde la recta tangente a la gráfica es perpendicular a una recta \(y=mx+n\). Este tipo de ejercicio es muy parecido al que vimos en la entrada anterior Cálculo de los puntos donde la recta tangente es paralela a una recta dada. En el caso presente debemos recordar que si tenemos una recta con pendiente \(m\) una recta perpendicular a ella va a tener pendiente \(-\dfrac{1}{m}\). Como la pendiente de la recta tangente \(f(x)\) en un punto \(x\) es la derivada \(f^\prime (x)\) y queremos que sea tangente a la recta \(y=mx+n\) vamos a plantear la ecuación
\[f^\prime (x) =-\dfrac{1}{m}\]

Veamos un ejemplo práctico: Sean \(f(x)=\dfrac{x}{1+x}\) y \(-x-y+2=0\) una función y una recta. Vamos a buscar en que puntos la tangente a \(f(x)\) es perpendicular a la recta. La pendiente de la recta la encontramos escribiéndola de forma explícita, es decir poniendo la \(y\) en función de la \(x\)
\[y=-x+2\]

La pendiente es el coeficiente de la \(x\), \(m=-1\). A continuación calculamos la derivada de la función
\[f^\prime(x)= \dfrac{1 \cdot (1+x) - x \cdot 1 }{(1+x)^2}= \dfrac{1}{(1+x)^2}\]

Y como hemos razonado antes para encontrar los valores de \(x\) en los que la recta tangente es perpendicular a la recta, planteamos \(f^\prime (x) =-\dfrac{1}{m}\), en este caso

\[\dfrac{1}{(1+x)^2}=-\dfrac{1}{(-1)} \Rightarrow \dfrac{1}{(1+x)^2}=1 \Rightarrow 1=(1+x)^2\]

EN lugar de desarrollar el cuadrado podemos considerar como incógnita a \((1+x)\), de forma que
\[1+x =\pm \sqrt{1} \Rightarrow 1+x=\pm 1 \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}
1+x=1 \Rightarrow x=0 \\
\\
1+x=-1 \Rightarrow x=-2 \\
\end{array}\right.
\]

Es decir que las rectas tangentes a \(f\) en los puntos de abscisa \(x=0\) y \(x=-2\) son perpendiculares a la recta \(y=-x+2\). Las ecuaciones de las rectas tangentes en estos puntos son
  1. \(y=x\)
  2. \(y=x+4 \)

y la representación gráfica de las soluciones del problema

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