Recta tangente III: Cálculo de los puntos donde la recta tangente es perpendicular a una recta dada

En esta entrada vamos a hablar de como calcular los puntos de la gráfica de una función derivable donde la recta tangente a la gráfica es perpendicular a una recta y=mx+n. Este tipo de ejercicio es muy parecido al que vimos en la entrada anterior Cálculo de los puntos donde la recta tangente es paralela a una recta dada. En el caso presente debemos recordar que si tenemos una recta con pendiente m una recta perpendicular a ella va a tener pendiente −1m. Como la pendiente de la recta tangente f(x) en un punto x es la derivada f′(x) y queremos que sea tangente a la recta y=mx+n vamos a plantear la ecuación
f′(x)=−1m

Veamos un ejemplo práctico: Sean f(x)=x1+x y −x−y+2=0 una función y una recta. Vamos a buscar en que puntos la tangente a f(x) es perpendicular a la recta. La pendiente de la recta la encontramos escribiéndola de forma explícita, es decir poniendo la y en función de la x
y=−x+2

La pendiente es el coeficiente de la x, m=−1. A continuación calculamos la derivada de la función
f′(x)=1⋅(1+x)−x⋅1(1+x)2=1(1+x)2

Y como hemos razonado antes para encontrar los valores de x en los que la recta tangente es perpendicular a la recta, planteamos f′(x)=−1m, en este caso

1(1+x)2=−1(−1)⇒1(1+x)2=1⇒1=(1+x)2

EN lugar de desarrollar el cuadrado podemos considerar como incógnita a (1+x), de forma que
1+x=±√1⇒1+x=±1⇒{1+x=1⇒x=01+x=−1⇒x=−2

Es decir que las rectas tangentes a f en los puntos de abscisa x=0 y x=−2 son perpendiculares a la recta y=−x+2. Las ecuaciones de las rectas tangentes en estos puntos son
  1. y=x
  2. y=x+4

y la representación gráfica de las soluciones del problema

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