DERIVACIÓN LOGARÍTMICA:

En esta entrada vamos a ver como podemos derivar funciones del tipo \( f(x)=g(x)^{h(x)}\) como por ejemplo \(f(x)=x^{\sin(x)}\).Si observamos las reglas de derivación que conocemos es evidente que ninguna de ellas se ajusta a este caso, así que hay que pensar en otra cosa.Lo que se hace es aprovechar las propiedades de la función logaritmo, está es una función creciente y tiene la propiedad \( \ln(a^b)=b \ln(a)\). En primer lugar escribimos nuestra función \[f(x)=x^{\sin(x)}\] Ahora aplicamos logaritmos a los dos lados de la expresión \[\ln[f(x)]=\ln [x^{\sin(x)}]\] La propiedad \( \ln(a^b)=b \ln(a)\) del logaritmo nos permite extraer el exponente \( \sin(x)\) fuera del logaritmo \[\ln[f(x)]=\sin(x)\cdot \ln (x)\] de forma que en el lado derecho tenemos un producto de funciones que si sabemos derivar.El siguiente paso es derivar de forma implícita los dos lados de esta ecuación, es decir derivamos ambos lados respecto de \(x\) \[\dfrac{f^\prime (x)}{f(x)} = \cos(x) \cdot \ln(x) + \sin(x) \cdot \dfrac{1}{x}\] Vemos que en el lado izquierdo para derivar \( \ln(f(x))\) hemos utilizado la regla de la cadena, primero hemos derivado el logaritmo y después multiplicamos por la derivada de f, \(\frac{1}{f(x)} \cdot f^\prime (x)\). En cualquier caso el lado izquierdo siempre va a ser igual, lo que va a cambiar es la función que tenemos en lado derecho.Una vez hecho esto ya solo nos queda aislar \( f^\prime (x)\) \[f^\prime(x) = \left[ \cos(x) \cdot \ln(x) + \dfrac{\sin(x)}{x}\right]\cdot f(x) \] cambiando \(f(x)=x^{\sin(x)} \) ya tenemos la expresión de la derivada \[f^\prime(x) = \left[ \cos(x) \cdot \ln(x) + \dfrac{\sin(x)}{x}\right]\cdot x^{\sin(x)} \]

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