Juanjo Mates

Las ecuaciones irracionales son aquellas en que la incógnita x se encuentra en el interior de una raíz cuadrada. Por ejemplo \[\sqrt{x^2+2}-1= x\] Para resolver este tipo de ecuaciones la idea es elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación para de esta forma eliminar la raíz. Lo primero que vamos a hacer en una ecuación como esta es aislar la raíz en un lado de la ecuación \[\sqrt{x^2+2}= x+1\] Ahora elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuación \[\left( \sqrt{x^2+2} \right)^2= \left( x+1\right)^2\] En el lado izquierdo eliminamos la raíz y cuidado con el lado derecho de la ecuación ya que nos aparece un producto notable \((a+b)^2=a^2 +2ab+b^2\) \[x^2+2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 \Rightarrow x^2+2=x^2+2x+1\] Simplificando la ecuación obtenemos una ecuación de primer grado \[2=2x+1\] ya muy fácil de resolver \[1=2x \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\] ¿Con esto hemos acabado el problema? La respuesta es no, podría ser que las soluciones que obtengamos mediante este procedimiento no ...

Una de las principales aplicaciones del teorema de Bolzano es la aproximación de soluciones de ecuaciones. Vamos a intentar aproximar el valor de la abscisa del punto de corte entre las gráficas de las funciones \( y=x\) y \(y=e^{-x} \). Para ello igualamos las dos funciones y obtenemos la ecuación \[x=e^{-x}\] Si realizamos la gráfica de las funciones \(y=x\) y \(e^{-x}\) vemos que se cortan en un punto y ese punto de corte es la solución de la ecuación Mediante el análisis gráfico llegamos a la conclusión que existe una única solución para esta ecuación, pero no la podemos determinar de forma exacta ya que no podemos aislar \(x\) en la ecuación anterior. Si definimos la función \(f(x)=e^{-x}-x\) las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\) son los valores de \(x\) en los puntos de corte de la gráfica de \(f(x)\) con el eje \(OX\). En este punto recordemos que nos dice el Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \( [a,b]\) y que cumple \( \...