Problema de Optimización de Bachillerato, Selectividad (Selectividad Cataluña 2020)

Dada la función $f(x)=\frac{1}{x^2}+1$, trazamos la recta tangente en un punto $(a,f(a))$ del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forma un triangulo rectangulo. Buscar el valor de $a$ para el que el área del triangulo es mínima. Veamos una representación gráfica de la función y una de las posibles rectas tangentes

\ Vemos como la recta tangente forma un triangulo rectangulo con los ejes de coordenadas. La base del triangulo es la abscisa del punto de corte de la recta con el eje OX en el caso del dibujo 2, y la altura del triangulo es la ordenada del punto de corte de la recta con el eje OY en el caso del dibujo es 4. Vamos ahora a considerar el caso para un punto cualquiera $x=a$. La recta tangente en $x=a$ la calculamos a partir de la expresión $$y-f(a)=f^\prime (x-a)$$ Calculamos $f(a)$ y $f^\prime(a)$ $$f(a)=\dfrac{1}{a^2} +1$$ $$f^\prime(x)= - \dfrac{2}{x^3}$$ $$f^\prime(a)= - \dfrac{2}{a^3}$$ Sustituyendo en la fórmula obtenemos la ecuación de la recta tangente $$y-\dfrac{1}{a^2}-1= -\dfrac{2}{a^3} \, (x-a)$$ Ahora vamos a buscar los puntos de corte de la recta tangente con los ejes de coordenadas

P. corte con el eje $OX \Rightarrow y=0$

$$-\dfrac{1}{a^2}-1= -\dfrac{2}{a^3} \, (x-a)$$ $$-\dfrac{1}{a^2}-1= -\dfrac{2}{a^3} x+ \dfrac{2}{a^2}$$ $$\dfrac{2}{a^3} x= \dfrac{3}{a^2}+1$$ $$\dfrac{2}{a^3} x= \dfrac{3+a^2}{a^2}$$ $$x=\dfrac{(3+a^2)a^3}{2a^2}$$ $$x=\dfrac{(3+a^2)a}{2}$$ Entonces el punto de corte con el eje de abscisas es $( \frac{3a+a^3}{2}, 0 )$ y como hemos visto antes la base del triangulo será la abscisa de este punto es decir $$\text{Base}= \dfrac{(3+a^2)a}{2}$$ Vamos ahora con el otro punto de corte que nos dará la altura del triangulo

P. corte con el eje $OY \Rightarrow x=0$

$$y-\dfrac{1}{a^2}-1= -\dfrac{2}{a^3} (-a)$$ $$y-\dfrac{1}{a^2}-1= \dfrac{2}{a^2}$$ $$y=\dfrac{3}{a^2}+1$$ $$y=\dfrac{3+a^2}{a^2}$$ El punto de corte es $(0, \frac{3+a^2}{a^2} )$ y la altura del triangulo $$\text{Altura} = \frac{3+a^2}{a^2}$$ El área del triangulo es $$A=\dfrac{\text{Base} \times \text{Altura}}{2}$$ por lo tanto el área en función de a es $$A(a)= \dfrac{1}{2}\dfrac{(3+a^2)a}{2} \frac{3+a^2}{a^2} =\dfrac{(3+a^2)^2}{4a}$$ Para buscar el máximo derivamos la función y simplificamos $$A^\prime(a)= \dfrac{2 (3+a^2) 2a \cdot 4a - (3+a^2)^2 \cdot 4}{16a^2}=\dfrac{4(3+a^2)[4a^2-(3+a^2)]}{16a^2}$$ $$A^\prime(a)= \dfrac{(3+a^2)(3a^2-3)}{4a^2}$$ igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos $$(3+a^2) (3a^2- 3)=0 \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} 3+a^2=0 \Rightarrow \,\text{No tiene solución real}\\ \\ 3a^2-3=0 \Rightarrow a=\pm 1\\ \end{array}\right.$$ Como en el enunciado nos dice que el punto debe pertenecer al primer cuadrante, la única solución válida es $a=1$. Ahora tenemos que comprobar que para $a=1$ el área es máxima. Para ello calculamos la segunda derivada $$A^{\prime \prime} (a)= \dfrac{[2a (3a^2-3) + (3+a^2) 6a] 4a- (3+a^2)(3a^2-3)8a}{16a^4}=\dfrac{(12a^3+12a)24a^2- (3+a^2)(3a^2-3)8a}{16a^4}$$ Sustituimos por $a=1$ en la segunda derivada y obtenemos $$A^{\prime \prime} = \dfrac{48-0}{4}=12>0$$ como el valor de la segunda derivada en $a=1$ es positivo la función área es mínima cuando $a=1$. Por lo tanto debemos trazar la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $(1, \frac{1}{1^2}+1)=(1,2)$ para que el área del triangulo que forma la recta tangente con los ejes sea mínima $\square$