Cálculo de la ecuación de la recta tangente:

En esta entrada vamos a hablar de como calcular la recta tangente a la gráfica de una función en un punto de abscisa x=a. Recordemos que la interpretación geométrica de la derivada nos dice que la derivada de la función $f(x)$ en un punto con abscisa $x=a$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $(a,f(a))$. Recordemos que la ecuación de una recta con pendiente $m$ que pasa por un punto $(x_0,y_0)$ puede escribirse de la forma siguiente
$$y-y_0 = m (x-x_0)$$

Bien, en el caso de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ la recta debe ser tangente a la gráfica de la función en el punto $(a,f(a))$ y la pendiente de la recta es la derivada $f^\prime (a)$.Así pues la ecuación de la recta anterior queda para la recta tangente como
$$y-f(a)=f^\prime (a) (x-a)$$

Veamos un ejemplo, dada la función $f(x)=\dfrac{x}{e^x}$ vamos a calcular la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$. Vamos a aplicar la fórmula anterior en tres pasos

• En primer lugar calculamos $f(0)$
  $$f(0)=\dfrac{0}{e^0}=\dfrac{0}{1}=0$$
  
• A continuación calculamos la derivada de $f(x)$ y su valor en x=0
  $$f^\prime(x)=\dfrac{1 \cdot e^x - x\cdot e^x}{(e^x)^2}= \underbrace{\dfrac{e^x -x \cdot e^x}{(e^x)^2}= \dfrac{e^x \cdot (1-x)}{(e^x)^2}}_{\text{extraemos factor común de} \; e^x}=\dfrac{1-x}{e^x}$$
  
  Ahora sustituimos en la derivada por x=0 de forma que obtendremos la pendiente de la recta tangente
  $$f^\prime (0)=\dfrac{1-0}{e^0}=\dfrac{1}{1}=1$$
  
• El ultimo paso es sustituir en la fórmula $y-f(0)=f^\prime (0) (x-0)$
  $$y-0=1 \cdot (x-0) \Rightarrow y=x$$
  

Con esto hemos obtenido que la recta tangente en x=0 es la función identidad y=x. Veamos gràficamente la representación de la función y de su recta tangente en el origen