Cálculo de la ecuación de la recta tangente:

En esta entrada vamos a hablar de como calcular la recta tangente a la gráfica de una función en un punto de abscisa x=a. Recordemos que la interpretación geométrica de la derivada nos dice que la derivada de la función \( f(x)\) en un punto con abscisa \( x=a\) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto \( (a,f(a))\). Recordemos que la ecuación de una recta con pendiente \(m\) que pasa por un punto \((x_0,y_0)\) puede escribirse de la forma siguiente
\[y-y_0 = m (x-x_0)\]

Bien, en el caso de la recta tangente a la gráfica de la función \( f(x)\) la recta debe ser tangente a la gráfica de la función en el punto \( (a,f(a))\) y la pendiente de la recta es la derivada \( f^\prime (a)\).Así pues la ecuación de la recta anterior queda para la recta tangente como
\[y-f(a)=f^\prime (a) (x-a)\]

Veamos un ejemplo, dada la función \( f(x)=\dfrac{x}{e^x}\) vamos a calcular la recta tangente a \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=0\). Vamos a aplicar la fórmula anterior en tres pasos

  • En primer lugar calculamos \(f(0) \)
    \[f(0)=\dfrac{0}{e^0}=\dfrac{0}{1}=0\]
  • A continuación calculamos la derivada de \( f(x)\) y su valor en x=0
    \[f^\prime(x)=\dfrac{1 \cdot e^x - x\cdot e^x}{(e^x)^2}= \underbrace{\dfrac{e^x -x \cdot e^x}{(e^x)^2}= \dfrac{e^x \cdot (1-x)}{(e^x)^2}}_{\text{extraemos factor común de} \; e^x}=\dfrac{1-x}{e^x}\]

    Ahora sustituimos en la derivada por x=0 de forma que obtendremos la pendiente de la recta tangente
    \[f^\prime (0)=\dfrac{1-0}{e^0}=\dfrac{1}{1}=1\]
  • El ultimo paso es sustituir en la fórmula \( y-f(0)=f^\prime (0) (x-0)\)
    \[y-0=1 \cdot (x-0) \Rightarrow y=x\]

Con esto hemos obtenido que la recta tangente en x=0 es la función identidad y=x. Veamos gràficamente la representación de la función y de su recta tangente en el origen


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