Teorema de Bolzano: Aplicación en la resolución de ecuaciones
Una de las principales aplicaciones del teorema de Bolzano es la aproximación de soluciones de ecuaciones. Vamos a intentar aproximar el valor de la abscisa del punto de corte entre las gráficas de las funciones \( y=x\) y \(y=e^{-x} \). Para ello igualamos las dos funciones y obtenemos la ecuación
\[x=e^{-x}\]
Si realizamos la gráfica de las funciones \(y=x\) y \(e^{-x}\) vemos que se cortan en un punto y ese punto de corte es la solución de la ecuación
Mediante el análisis gráfico llegamos a la conclusión que existe una única solución para esta ecuación, pero no la podemos determinar de forma exacta ya que no podemos aislar \(x\) en la ecuación anterior.
Si definimos la función \(f(x)=e^{-x}-x\) las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\) son los valores de \(x\) en los puntos de corte de la gráfica de \(f(x)\) con el eje \(OX\). En este punto recordemos que nos dice el Teorema de Bolzano
Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \( [a,b]\) y que cumple \( \text{signo} \, f(a) \neq \text{signo} \, f(b)\). Entonces existe \(\varepsilon \in (a,b)\) tal que \( f(\varepsilon)=0\).
El teorema de Bolzano simplemente nos indica que si tenemos una función continua definida en un intervalo \([a,b]\) tal que \(f(a)\) es positiva y \(f(b)\) negativa, entonces existe al menos un punto de corte de la función con el eje de abscisas.
Volvamos ahora a nuestro ejemplo, en primer lugar vemos que nuestra función es continua por ser la suma de dos funciones continuas. Por otro lado también sabemos que la solución es positiva, así pues podemos ir dando valores a la \(x\) los valores 0, 1, 2 , ... hasta que observemos un cambio de signo
\(f(0)= 1 > 0\)
\(f(1)= e^{-1} -1 <0\)
El teorema de Bolzano nos asegura que la solución se encuentra entre 0 y 1, así que elegimos como primera aproximación el punto medio del intervalo \((0,1)\)
\( x^*_1 =0,5 \)
La solución real \(x^*\) se encuentra a una distancia de la aproximación \(x^*_1 =0,5\) inferior a la mitad de la longitud del intervalo, es decir que el error absoluto que hemos cometido en nuestra primera aproximación \(\Delta_1=|x^* - x^*_1|< 0,5 \). Podemos ir repitiendo de forma sucesiva este mismo proceso y de esta forma encontraremos aproximaciones cada vez más exactas. Veamos una segunda iteración: Calculamos el valor de la función en \( x^*_1 =0,5\) y observamos el signo de la función en este punto
\( f(0,5)=e^{-0,5}-0,5>0 \)
Ahora consideramos los subintervalos \( [0, 0,5]\), \( [0,5,1]\) y observamos en cual de los dos se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano, es decir en cual de ellos la función cambia de signo. En este caso esto ocurre en el segundo intervalo \( [0,5,1]\) ya que \( f(0,5)>0\) y \( f(1)<0\). Por lo tanto la solución se encuentra entre \( 0,5\) y \( 1\) y como antes elegimos ahora como segunda aproximación el punto medio de este segundo intervalo, es decir
\( x^*_2 =0,75 \)
El error absoluto que cometemos en esta segunda aproximación es inferior a la mitad de la longitud de este segundo intervalo. Repitiendo este proceso de forma sucesiva podemos ir obteniendo aproximaciones cada vez mejores.
\[x=e^{-x}\]
Si realizamos la gráfica de las funciones \(y=x\) y \(e^{-x}\) vemos que se cortan en un punto y ese punto de corte es la solución de la ecuación
Mediante el análisis gráfico llegamos a la conclusión que existe una única solución para esta ecuación, pero no la podemos determinar de forma exacta ya que no podemos aislar \(x\) en la ecuación anterior.
Si definimos la función \(f(x)=e^{-x}-x\) las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\) son los valores de \(x\) en los puntos de corte de la gráfica de \(f(x)\) con el eje \(OX\). En este punto recordemos que nos dice el Teorema de Bolzano
Teorema de Bolzano
Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \( [a,b]\) y que cumple \( \text{signo} \, f(a) \neq \text{signo} \, f(b)\). Entonces existe \(\varepsilon \in (a,b)\) tal que \( f(\varepsilon)=0\).
El teorema de Bolzano simplemente nos indica que si tenemos una función continua definida en un intervalo \([a,b]\) tal que \(f(a)\) es positiva y \(f(b)\) negativa, entonces existe al menos un punto de corte de la función con el eje de abscisas.
Volvamos ahora a nuestro ejemplo, en primer lugar vemos que nuestra función es continua por ser la suma de dos funciones continuas. Por otro lado también sabemos que la solución es positiva, así pues podemos ir dando valores a la \(x\) los valores 0, 1, 2 , ... hasta que observemos un cambio de signo
\(f(1)= e^{-1} -1 <0\)
El teorema de Bolzano nos asegura que la solución se encuentra entre 0 y 1, así que elegimos como primera aproximación el punto medio del intervalo \((0,1)\)
La solución real \(x^*\) se encuentra a una distancia de la aproximación \(x^*_1 =0,5\) inferior a la mitad de la longitud del intervalo, es decir que el error absoluto que hemos cometido en nuestra primera aproximación \(\Delta_1=|x^* - x^*_1|< 0,5 \). Podemos ir repitiendo de forma sucesiva este mismo proceso y de esta forma encontraremos aproximaciones cada vez más exactas. Veamos una segunda iteración: Calculamos el valor de la función en \( x^*_1 =0,5\) y observamos el signo de la función en este punto
\( f(0,5)=e^{-0,5}-0,5>0 \)
Ahora consideramos los subintervalos \( [0, 0,5]\), \( [0,5,1]\) y observamos en cual de los dos se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano, es decir en cual de ellos la función cambia de signo. En este caso esto ocurre en el segundo intervalo \( [0,5,1]\) ya que \( f(0,5)>0\) y \( f(1)<0\). Por lo tanto la solución se encuentra entre \( 0,5\) y \( 1\) y como antes elegimos ahora como segunda aproximación el punto medio de este segundo intervalo, es decir
\( x^*_2 =0,75 \)
El error absoluto que cometemos en esta segunda aproximación es inferior a la mitad de la longitud de este segundo intervalo. Repitiendo este proceso de forma sucesiva podemos ir obteniendo aproximaciones cada vez mejores.
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