Ejercicio de selectividad de cálculo de áreas por integración (CAM 2011)

Enunciado:

Dada la función \( f(x)=\frac{1}{2} - \sin(x)\) calcular el área del recinto delimitado por la gráfica de la función y el eje de abscisas entre \( x=0\) y \( x=-\frac{\pi}{2}\).

Resolución:


Tenemos planteado un problema de cálculo de área mediante integración. En primer lugar vamos a determinar los puntos de corte de la función \( f(x)\) con el eje de abscisas en el intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}]\). Encontramos estos punto igualando la función a cero
\[\dfrac{1}{2} - \sin(x)=0 \Rightarrow \dfrac{1}{2}= \sin(x) \]

Para encontrar el valor de x calculamos el arcoseno de \( \frac{1}{2}\), que es \(\frac{\pi}{6}\) (Importante, las medidas angulares se deben expresar en radianes) y esta es la única solución que hay entre 0 y \( \frac{\pi}{2}\). Hemos buscado este punto, porque en este punto la gráfica de la función corta al eje de abscisas y por lo tanto la función cambia de signo. Si integramos directamente la integral entre 0 y \( \frac{\pi}{2}\) no encontraremos el valor real del área porque la integral correspondiente a la parte de la gráfica negativa nos daría un valor negativo. Para encontrar el valor del área vamos a integrar entre 0 y \( \frac{\pi}{6}\) y entre \( \frac{\pi}{6}\) y \( \frac{\pi}{2}\) y tomaremos los resultados en valor absoluto
\[\text{Área}=\left| \int^\frac{\pi}{6}_0 \dfrac{1}{2} - \sin(x) \, dx\right| + \left| \int^\frac{\pi}{2}_{\frac{\pi}{6}} \dfrac{1}{2} - \sin(x) \, dx\right| \]

Podemos resolver a parte la integral indefinida y después sustituir
\[\int \dfrac{1}{2} - \sin(x) \, dx = \dfrac{x}{2} + \cos(x)+ C\]

Ahora sustituimos los límites de integración y obtenemos el valor del área
\[\text{Área}=\left| \dfrac{x}{2} + \cos(x) \right|^\frac{\pi}{6}_0 + \left| \dfrac{x}{2} + \cos(x) \right|^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{6} = \left| \left(\dfrac{\pi/6}{2} + \cos\left( \frac{\pi}{6}\right)\right) - \cos(0) \right|+ \left| \left( \dfrac{\pi/2}{2} + \cos\left( \frac{\pi}{2}\right)\right)- \left( \dfrac{\pi/6}{2} + \cos\left( \frac{\pi}{6}\right)\right)\right|\]

\[\boxed{\text{Área}=\sqrt{3} - \dfrac{\pi}{12}-1 \approx 0.47}\]

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