Ejercicio de selectividad de cálculo de áreas por integración (CAM 2011)
Enunciado:
Dada la función f(x)=12−sin(x) calcular el área del recinto delimitado por la gráfica de la función y el eje de abscisas entre x=0 y x=−π2.Resolución:
Tenemos planteado un problema de cálculo de área mediante integración. En primer lugar vamos a determinar los puntos de corte de la función f(x) con el eje de abscisas en el intervalo [0,π2]. Encontramos estos punto igualando la función a cero
12−sin(x)=0⇒12=sin(x)
Para encontrar el valor de x calculamos el arcoseno de 12, que es π6 (Importante, las medidas angulares se deben expresar en radianes) y esta es la única solución que hay entre 0 y π2. Hemos buscado este punto, porque en este punto la gráfica de la función corta al eje de abscisas y por lo tanto la función cambia de signo. Si integramos directamente la integral entre 0 y π2 no encontraremos el valor real del área porque la integral correspondiente a la parte de la gráfica negativa nos daría un valor negativo. Para encontrar el valor del área vamos a integrar entre 0 y π6 y entre π6 y π2 y tomaremos los resultados en valor absoluto
Área=|∫π6012−sin(x)dx|+|∫π2π612−sin(x)dx|
Podemos resolver a parte la integral indefinida y después sustituir
∫12−sin(x)dx=x2+cos(x)+C
Ahora sustituimos los límites de integración y obtenemos el valor del área
Área=|x2+cos(x)|π60+|x2+cos(x)|π2π6=|(π/62+cos(π6))−cos(0)|+|(π/22+cos(π2))−(π/62+cos(π6))|
Área=√3−π12−1≈0.47
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