Juanjo Mates

En esta entrada vamos a hablar de una de las formas de simplificar radicales. Pensemos por ejemplo en el caso \(\sqrt[3]{81}\), el número 81 factoriza de la forma siguiente \(81=3^4\) y por lo tanto tenemos \[\sqrt[3]{3^4}\] Bien, vemos que tenemos dentro de la raíz una potencia cuarta, y como el exponente es mayor que el índice de la raíz podemos pensar en reescribir está potencia como un producto de potencias en el que aparezca un cubo, es decir \[\sqrt[3]{3^3 \cdot 3}\] Ahora recordemos que la raíz de un producto es producto de raíces y por lo tanto podemos escribir \[\sqrt[3]{3^3 \cdot 3}=\underbrace{\sqrt[3]{3^3 }}_{\text{raíz exacta}} \cdot \sqrt[3]{3}=3 \sqrt[3]{3}\] Y con esto hemos llegado a que la raíz cúbica de 81 es equivalente al triple de la raíz cúbica de tres.Veamos otro ejemplo, consideremos en este caso la raíz cuadrada de 128. El número 128 factoriza como \(128=2^7\) y siguiendo el ejemplo inicial lo que vamos a hacer en este caso es hacer grupos de cuadrados \(...

Imaginemos que tenemos el número real \(\frac{3}{\sqrt{5}}\), vemos que en el denominador tenemos una raíz cuadrada.Racionalizar significa buscar una expresión equivalente sin el radical en el denominador.Lo podemos conseguir fácilmente multiplicando numerador y denominador por \(\sqrt{5}\) $$\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5^2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$$ Consideremos ahora un caso un poco distinto, por ejemplo \[\dfrac{3}{\sqrt[4]{5}}\] En este caso para eliminar el radical vamos a necesitar que dentro de la raíz haya una potencia cuarta, en este caso la forma de hacer esto es la siguiente, multiplicamos y dividimos por \(\sqrt[4]{5^3}\).¿por qué el 5 está elevado al cubo? Observemos que cuando multipliquemos \(\sqrt[4]{5}\) por \(\sqrt[4]{5^3}\) vamos a obtener la raíz cuarta de una potencia cuarta \(\sqrt[4]{5^4}=5\).Procedamos pues a multiplicar numerador y denominador por \(\sqrt[4]{5^3}\) \[\dfrac{3}{\sqrt[4]{5...