Resolución de una integral mediante un cambio trigonométrico

En el cálculo de la integral
\[I(x)=\displaystyle \int \sqrt{1-x^2} \, dx\]

utilizamos un cambio de variable trigonométrico basado en la relación fundamental de la trigonometria

Relación fundamental de la Trigonometría:
\[\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)=1\]


si escribimos
\[\cos(\theta) =\sqrt{1-\sin^2(\theta)}\]

Vemos que tenemos una expresión parecida a lo que tenemos en el interior de la integral. Así pues la idea es realizar el cambio
\[x=\sin(t)\]
\[dx=\cos(t) \, dt\]

Sustituyendo en la integral tenemos
\[\int \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t) \, dt = \int \cos^2(t) \, dt\]

Mediante este cambio de variable hemos eliminado la raíz y hemos obtenido la integral del coseno cuadrado. Para integrar esta (y también el seno cuadrado) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas

Integración de \( \cos^2 (x)\) y \( \sin^2(x)\)
\[\cos^2(x) = \dfrac{1+ \cos (2x)}{2}\]
\[\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\]


En nuestro caso aplicamos la relación para coseno cuadrado de forma que nuestra integral se transforma en la siguiente
\[\int \dfrac{1+ \cos(2t)}{2} \, dt = \dfrac{1}{2} \int \, dt + \dfrac{1}{2} \int \cos(2t) \, dt = \dfrac{t}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int 2 \cos(2t) \, dt = \dfrac{t}{2} + \dfrac{\sin(2t)}{4} + C\]

Para expresar el resultado respecto la variable \( x\) tenemos que deshacer el cambio de variable, en este caso si \( x= \sin(t)\) eso implica que \( t = \arcsin(x)\). Sustituyendo obtenemos el resultado de la integral respecto \(x \).
\[I(x)= \dfrac{\arcsin(x)}{2} + \dfrac{\sin[2 \cdot \arcsin(x)]}{4} +C\]

Podemos simplificar el resultado para obtener una expresión más agradable. Recordemos que \( t= \arcsin(x)\) y por lo tanto \(\sin(t)=x\), utilizando la relación fundamental de la trigonometría tenemos el valor del coseno, \( \cos(t)=\sqrt{1-x^2}\). Entonces
\[\sin[2 \cdot \arcsin(x)] = \sin(2t) = 2 \sin(t) \cos(t) = 2x \sqrt{1-x^2}\]

donde hemos utilizado el seno del angulo doble

Seno del angulo doble
\[\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\]


de forma que el resultado de la integral es
\[I(x)= \dfrac{\arcsin(x)}{2} + \dfrac{x \sqrt{1-x^2}}{2} + C\]

Podemos generalizar este método cuando en lugar de un 1 tenemos otra constante en el interior de la raíz, es decir
\[\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx\]

En este caso el cambio de variable es
\[\begin{array}{c}
x=a \sin(t) \\
\\
dx= a \cos(t) \, dt\\
\end{array}
\]












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