Resolución de una integral mediante un cambio trigonométrico

En el cálculo de la integral
$$I(x)=\displaystyle \int \sqrt{1-x^2} \, dx$$

utilizamos un cambio de variable trigonométrico basado en la relación fundamental de la trigonometria

Relación fundamental de la Trigonometría:
$$\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)=1$$

si escribimos
$$\cos(\theta) =\sqrt{1-\sin^2(\theta)}$$

Vemos que tenemos una expresión parecida a lo que tenemos en el interior de la integral. Así pues la idea es realizar el cambio
$$x=\sin(t)$$
$$dx=\cos(t) \, dt$$

Sustituyendo en la integral tenemos
$$\int \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t) \, dt = \int \cos^2(t) \, dt$$

Mediante este cambio de variable hemos eliminado la raíz y hemos obtenido la integral del coseno cuadrado. Para integrar esta (y también el seno cuadrado) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas

Integración de $\cos^2 (x)$ y $\sin^2(x)$
$$\cos^2(x) = \dfrac{1+ \cos (2x)}{2}$$
$$\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$$

En nuestro caso aplicamos la relación para coseno cuadrado de forma que nuestra integral se transforma en la siguiente
$$\int \dfrac{1+ \cos(2t)}{2} \, dt = \dfrac{1}{2} \int \, dt + \dfrac{1}{2} \int \cos(2t) \, dt = \dfrac{t}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int 2 \cos(2t) \, dt = \dfrac{t}{2} + \dfrac{\sin(2t)}{4} + C$$

Para expresar el resultado respecto la variable $x$ tenemos que deshacer el cambio de variable, en este caso si $x= \sin(t)$ eso implica que $t = \arcsin(x)$. Sustituyendo obtenemos el resultado de la integral respecto $x$.
$$I(x)= \dfrac{\arcsin(x)}{2} + \dfrac{\sin[2 \cdot \arcsin(x)]}{4} +C$$

Podemos simplificar el resultado para obtener una expresión más agradable. Recordemos que $t= \arcsin(x)$ y por lo tanto $\sin(t)=x$, utilizando la relación fundamental de la trigonometría tenemos el valor del coseno, $\cos(t)=\sqrt{1-x^2}$. Entonces
$$\sin[2 \cdot \arcsin(x)] = \sin(2t) = 2 \sin(t) \cos(t) = 2x \sqrt{1-x^2}$$

donde hemos utilizado el seno del angulo doble

Seno del angulo doble
$$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$$

de forma que el resultado de la integral es
$$I(x)= \dfrac{\arcsin(x)}{2} + \dfrac{x \sqrt{1-x^2}}{2} + C$$

Podemos generalizar este método cuando en lugar de un 1 tenemos otra constante en el interior de la raíz, es decir
$$\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx$$

En este caso el cambio de variable es
$$\begin{array}{c} x=a \sin(t) \\ \\ dx= a \cos(t) \, dt\\ \end{array}$$