Juanjo Mates

Tabla de Integrales

Pequeño ejemplo de resolución de una integral mediante cambio de variable.

Las integrales más fáciles de resolver son las de tipo potencial \(x^n\) \[\boxed{\int x^{n} \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, \; (n \neq -1)}\] Utilizando esto y las propiedades de la integral podemos integrar cualquier función polinómica \[\int 2x^3 - 5x^2 +3x-1 \, dx = 2 \dfrac{x^4}{4} - 5 \dfrac{x^3}{3} + 3 \dfrac{x^2}{2} -x +C\] La cosa no tiene ninguna dificultad. Utilizando esto también podemos integrar funciones que no son polinomios, consideremos por ejemplo \[\int \dfrac{x}{\sqrt[4]{x^3}} - \dfrac{2}{\sqrt{x}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx\] Recordando que \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\) y que \( \frac{1}{x^n}=x^{-n}\) podemos reducir la función que tenemos a una suma de funciones potenciales que ya sabemos como integrar \[\int \dfrac{x}{x^{\frac{3}{4}}} - \dfrac{2}{x^{\frac{1}{2}}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx \] El primer término \( \frac{x}{x^{\frac{3}{4}}}\) es un cociente de dos potencias con la misma base, por lo tanto el resultado es una potencia con la misma base y un exponente qu...

La fórmula de integración por partes Sean \( f\) y \( g\) dos funciones con derivadas \( f^\prime\) y \( g^\prime\), entonces la integral \( \int f(x) g^\prime (x) \, dx\) se puede descomponer de la forma siguiente \[\int f(x) g^\prime (x) \, dx=f(x) g(x) - \int f^\prime(x) g(x) \, dx \] llamada fórmula de integración por partes. Es habitual encontrar esta fórmula en los libros escrita de la forma siguiente \[\int u dv=uv -\int vdu\] donde se ha hecho \(u=f(x), du=f^\prime(x) \,dx\) y \(v=g(x), dv=g^\prime(x) \,dx\). Hay una regla nemotécnica para recordar esta fórmula, consiste en la siguiente frase donde la primera letra de cada palabra coincide con una de las letras de la fórmula \[\text{Un Día Ví Una Vaca Vestida De Uniforme}\] Veamos a continuación algunos casos sencillos de aplicación Integral de función potencial x función exponencial Veamos como realizar con este método la integral \[\int x e^x \,dx\] Vemos que tenemos un producto de dos funciones, en estos casos podemos pensar...

Las integrales de seno y coseno son inmediatas. Si queremos integrar las funciones \( \sin^2(x)\) y \( \cos^2(x)\) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas \[\cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\] \[\sin^2(x)= \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\] De esta forma reducimos eliminamos el cuadrado y tenemos unas integrales fáciles de resolver \[\int \cos^2(x) \, dx = \int \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \int dx + \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx=\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int 2 \cos(2x) \,dx=\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4} +C\] De la misma forma se integra el seno cuadrado, simplemente cambia un signo  \[\int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1-\cos(2x)}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \int dx - \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx=\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int 2 \cos(2x) \,dx=\dfrac{x}{2} -\dfrac{\sin(2x)}{4} +C\]

En el cálculo de la integral \[I(x)=\displaystyle \int \sqrt{1-x^2} \, dx\] utilizamos un cambio de variable trigonométrico basado en la relación fundamental de la trigonometria Relación fundamental de la Trigonometría: \[\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)=1\] si escribimos \[\cos(\theta) =\sqrt{1-\sin^2(\theta)}\] Vemos que tenemos una expresión parecida a lo que tenemos en el interior de la integral. Así pues la idea es realizar el cambio \[x=\sin(t)\] \[dx=\cos(t) \, dt\] Sustituyendo en la integral tenemos \[\int \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t) \, dt = \int \cos^2(t) \, dt\] Mediante este cambio de variable hemos eliminado la raíz y hemos obtenido la integral del coseno cuadrado. Para integrar esta (y también el seno cuadrado) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas Integración de \( \cos^2 (x)\) y \( \sin^2(x)\) \[\cos^2(x) = \dfrac{1+ \cos (2x)}{2}\] \[\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\] En nuestro caso aplicamos la relación para coseno cuadrado de forma que nuestra i...