Cálculo de derivadas utilizando la definición:

En este entrada vamos a ver como hacer el cálculo de derivadas utilizando la definición. Recordemos que la derivada de una función \(f(x)\) en un punto x=a se define como \[f^\prime(a) = \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\] o la equivalente \[f^\prime(a) = \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\] Vamos a utilizar la primera expresión para calcular por ejemplo la derivada de \( f(x)= \sqrt{x}\) en \( x=1\).Si aplicamos la definición tenemos el límite \[f^\prime(1) =\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+h} - 1}{h}=\dfrac{0}{0} \; \text{IND}\] Vemos que en este caso nos aparece una indeterminación \( 0/0\). Para resolverla multiplicamos numerador y denominador por \( \sqrt{1+h} + 1\), el conjugado del numerador, que es el término que presenta la raíz \[\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+h} - 1}{h}= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sqrt{1+h} +1)(\sqrt{1+h} - 1)}{h (\sqrt{1+h} +1)}=\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{1+h-1}{h (\sqrt{1+h} +1)}\] Donde hemos aplicado \((\sqrt{1+h} +1)(\sqrt{1+h} - 1)=(\sqrt{1+h})^2 -1^2 = 1+h-1 =h \), de forma que ahora hemos obtenido \[\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{h}{ h(\sqrt{1+h} +1)}\] y simplificando las h ys tenemos un límite directo \[\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{ (\sqrt{1+h} +1)}= \dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\]
Por lo tanto la derivada de \(f(x)=\sqrt{x}\) en x=1 es igual a \(f^\prime (1)=\frac{1}{2} \), que evidentemente coincide con el valor que obtenemos si utilizamos la función derivada de \(\sqrt{x}\), \((\sqrt{x})^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

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