Juanjo Mates

Las integrales más fáciles de resolver son las de tipo potencial \(x^n\) \[\boxed{\int x^{n} \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, \; (n \neq -1)}\] Utilizando esto y las propiedades de la integral podemos integrar cualquier función polinómica \[\int 2x^3 - 5x^2 +3x-1 \, dx = 2 \dfrac{x^4}{4} - 5 \dfrac{x^3}{3} + 3 \dfrac{x^2}{2} -x +C\] La cosa no tiene ninguna dificultad. Utilizando esto también podemos integrar funciones que no son polinomios, consideremos por ejemplo \[\int \dfrac{x}{\sqrt[4]{x^3}} - \dfrac{2}{\sqrt{x}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx\] Recordando que \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\) y que \( \frac{1}{x^n}=x^{-n}\) podemos reducir la función que tenemos a una suma de funciones potenciales que ya sabemos como integrar \[\int \dfrac{x}{x^{\frac{3}{4}}} - \dfrac{2}{x^{\frac{1}{2}}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx \] El primer término \( \frac{x}{x^{\frac{3}{4}}}\) es un cociente de dos potencias con la misma base, por lo tanto el resultado es una potencia con la misma base y un exponente qu...

Las ecuaciones irracionales son aquellas en que la incógnita x se encuentra en el interior de una raíz cuadrada. Por ejemplo \[\sqrt{x^2+2}-1= x\] Para resolver este tipo de ecuaciones la idea es elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación para de esta forma eliminar la raíz. Lo primero que vamos a hacer en una ecuación como esta es aislar la raíz en un lado de la ecuación \[\sqrt{x^2+2}= x+1\] Ahora elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuación \[\left( \sqrt{x^2+2} \right)^2= \left( x+1\right)^2\] En el lado izquierdo eliminamos la raíz y cuidado con el lado derecho de la ecuación ya que nos aparece un producto notable \((a+b)^2=a^2 +2ab+b^2\) \[x^2+2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 \Rightarrow x^2+2=x^2+2x+1\] Simplificando la ecuación obtenemos una ecuación de primer grado \[2=2x+1\] ya muy fácil de resolver \[1=2x \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\] ¿Con esto hemos acabado el problema? La respuesta es no, podría ser que las soluciones que obtengamos mediante este procedimiento no ...

La fórmula de integración por partes Sean \( f\) y \( g\) dos funciones con derivadas \( f^\prime\) y \( g^\prime\), entonces la integral \( \int f(x) g^\prime (x) \, dx\) se puede descomponer de la forma siguiente \[\int f(x) g^\prime (x) \, dx=f(x) g(x) - \int f^\prime(x) g(x) \, dx \] llamada fórmula de integración por partes. Es habitual encontrar esta fórmula en los libros escrita de la forma siguiente \[\int u dv=uv -\int vdu\] donde se ha hecho \(u=f(x), du=f^\prime(x) \,dx\) y \(v=g(x), dv=g^\prime(x) \,dx\). Hay una regla nemotécnica para recordar esta fórmula, consiste en la siguiente frase donde la primera letra de cada palabra coincide con una de las letras de la fórmula \[\text{Un Día Ví Una Vaca Vestida De Uniforme}\] Veamos a continuación algunos casos sencillos de aplicación Integral de función potencial x función exponencial Veamos como realizar con este método la integral \[\int x e^x \,dx\] Vemos que tenemos un producto de dos funciones, en estos casos podemos pensar...

Las integrales de seno y coseno son inmediatas. Si queremos integrar las funciones \( \sin^2(x)\) y \( \cos^2(x)\) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas \[\cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\] \[\sin^2(x)= \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\] De esta forma reducimos eliminamos el cuadrado y tenemos unas integrales fáciles de resolver \[\int \cos^2(x) \, dx = \int \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \int dx + \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx=\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int 2 \cos(2x) \,dx=\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4} +C\] De la misma forma se integra el seno cuadrado, simplemente cambia un signo  \[\int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1-\cos(2x)}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \int dx - \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx=\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int 2 \cos(2x) \,dx=\dfrac{x}{2} -\dfrac{\sin(2x)}{4} +C\]

Ecuación vectorial de la recta Para definir una recta en el espacio vamos a necesitar un punto \( P=(x_0,y_0,z_0)\) que pertenezca a ella y un vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) con la misma dirección que la recta llamado vector director de la recta En el dibujo de arriba vemos que hemos puesto el origen del vector \(\vec{v}\) en el punto P, de forma que el vector apuntará a otro punto de la recta que podemos denominar como \(Q\). Si multiplicamos el vector por un número real \(\lambda\) obtenemos un vector \(\lambda \cdot \vec{v}\) que también estará sobre la recta pero tendrá una longitud distinta de forma que apuntará a otro punto distinto de la recta. Es decir que para cada punto de la recta existe un número real \( \lambda\) tal que el vector \( \lambda \cdot \vec{v}\) con origen en \(P\) apunta hacía el punto de la recta que hemos elegido. Esta es la idea de la ecuación de la recta, para obtener una ecuación debemos utilizar el vector de posición de un punto que recordemos que es ...

En el cálculo de la integral \[I(x)=\displaystyle \int \sqrt{1-x^2} \, dx\] utilizamos un cambio de variable trigonométrico basado en la relación fundamental de la trigonometria Relación fundamental de la Trigonometría: \[\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)=1\] si escribimos \[\cos(\theta) =\sqrt{1-\sin^2(\theta)}\] Vemos que tenemos una expresión parecida a lo que tenemos en el interior de la integral. Así pues la idea es realizar el cambio \[x=\sin(t)\] \[dx=\cos(t) \, dt\] Sustituyendo en la integral tenemos \[\int \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t) \, dt = \int \cos^2(t) \, dt\] Mediante este cambio de variable hemos eliminado la raíz y hemos obtenido la integral del coseno cuadrado. Para integrar esta (y también el seno cuadrado) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas Integración de \( \cos^2 (x)\) y \( \sin^2(x)\) \[\cos^2(x) = \dfrac{1+ \cos (2x)}{2}\] \[\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\] En nuestro caso aplicamos la relación para coseno cuadrado de forma que nuestra i...

Una de las principales aplicaciones del teorema de Bolzano es la aproximación de soluciones de ecuaciones. Vamos a intentar aproximar el valor de la abscisa del punto de corte entre las gráficas de las funciones \( y=x\) y \(y=e^{-x} \). Para ello igualamos las dos funciones y obtenemos la ecuación \[x=e^{-x}\] Si realizamos la gráfica de las funciones \(y=x\) y \(e^{-x}\) vemos que se cortan en un punto y ese punto de corte es la solución de la ecuación Mediante el análisis gráfico llegamos a la conclusión que existe una única solución para esta ecuación, pero no la podemos determinar de forma exacta ya que no podemos aislar \(x\) en la ecuación anterior. Si definimos la función \(f(x)=e^{-x}-x\) las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\) son los valores de \(x\) en los puntos de corte de la gráfica de \(f(x)\) con el eje \(OX\). En este punto recordemos que nos dice el Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \( [a,b]\) y que cumple \( \...