Como resolver ecuaciones irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas en que la incógnita x se encuentra en el interior de una raíz cuadrada. Por ejemplo
\[\sqrt{x^2+2}-1= x\]

Para resolver este tipo de ecuaciones la idea es elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación para de esta forma eliminar la raíz. Lo primero que vamos a hacer en una ecuación como esta es aislar la raíz en un lado de la ecuación
\[\sqrt{x^2+2}= x+1\]

Ahora elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuación
\[\left( \sqrt{x^2+2} \right)^2= \left( x+1\right)^2\]

En el lado izquierdo eliminamos la raíz y cuidado con el lado derecho de la ecuación ya que nos aparece un producto notable \((a+b)^2=a^2 +2ab+b^2\)
\[x^2+2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 \Rightarrow x^2+2=x^2+2x+1\]

Simplificando la ecuación obtenemos una ecuación de primer grado
\[2=2x+1\]

ya muy fácil de resolver
\[1=2x \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\]

¿Con esto hemos acabado el problema? La respuesta es no, podría ser que las soluciones que obtengamos mediante este procedimiento no sean soluciones de la ecuación inicial, por lo tanto deben comprobarse los resultados. En este caso sólo tenemos una solución posible \( x=\frac{1}{2}\)
\[\sqrt{\left( \frac{1}{2}\right)^2 +2} -1= \frac{1}{2}\]

Operamos el lado izquierdo y comprobamos si obtenemos \( \frac{1}{2}\)
\[\sqrt{\frac{1}{4} +2} -1= \sqrt{\frac{9}{4}} - 1 =\frac{3}{2} -1 =\frac{1}{2}\]

Vemos que efectivamente obtenemos \(\frac{1}{2}\), con lo que \(x=\frac{1}{2}\) es la solución de la ecuación.

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