Juanjo Mates

Las integrales de seno y coseno son inmediatas. Si queremos integrar las funciones \( \sin^2(x)\) y \( \cos^2(x)\) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas \[\cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\] \[\sin^2(x)= \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\] De esta forma reducimos eliminamos el cuadrado y tenemos unas integrales fáciles de resolver \[\int \cos^2(x) \, dx = \int \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \int dx + \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx=\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int 2 \cos(2x) \,dx=\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4} +C\] De la misma forma se integra el seno cuadrado, simplemente cambia un signo  \[\int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1-\cos(2x)}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \int dx - \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx=\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \int 2 \cos(2x) \,dx=\dfrac{x}{2} -\dfrac{\sin(2x)}{4} +C\]

Ecuación vectorial de la recta Para definir una recta en el espacio vamos a necesitar un punto \( P=(x_0,y_0,z_0)\) que pertenezca a ella y un vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) con la misma dirección que la recta llamado vector director de la recta En el dibujo de arriba vemos que hemos puesto el origen del vector \(\vec{v}\) en el punto P, de forma que el vector apuntará a otro punto de la recta que podemos denominar como \(Q\). Si multiplicamos el vector por un número real \(\lambda\) obtenemos un vector \(\lambda \cdot \vec{v}\) que también estará sobre la recta pero tendrá una longitud distinta de forma que apuntará a otro punto distinto de la recta. Es decir que para cada punto de la recta existe un número real \( \lambda\) tal que el vector \( \lambda \cdot \vec{v}\) con origen en \(P\) apunta hacía el punto de la recta que hemos elegido. Esta es la idea de la ecuación de la recta, para obtener una ecuación debemos utilizar el vector de posición de un punto que recordemos que es ...

En el cálculo de la integral \[I(x)=\displaystyle \int \sqrt{1-x^2} \, dx\] utilizamos un cambio de variable trigonométrico basado en la relación fundamental de la trigonometria Relación fundamental de la Trigonometría: \[\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)=1\] si escribimos \[\cos(\theta) =\sqrt{1-\sin^2(\theta)}\] Vemos que tenemos una expresión parecida a lo que tenemos en el interior de la integral. Así pues la idea es realizar el cambio \[x=\sin(t)\] \[dx=\cos(t) \, dt\] Sustituyendo en la integral tenemos \[\int \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t) \, dt = \int \cos^2(t) \, dt\] Mediante este cambio de variable hemos eliminado la raíz y hemos obtenido la integral del coseno cuadrado. Para integrar esta (y también el seno cuadrado) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas Integración de \( \cos^2 (x)\) y \( \sin^2(x)\) \[\cos^2(x) = \dfrac{1+ \cos (2x)}{2}\] \[\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\] En nuestro caso aplicamos la relación para coseno cuadrado de forma que nuestra i...

Una de las principales aplicaciones del teorema de Bolzano es la aproximación de soluciones de ecuaciones. Vamos a intentar aproximar el valor de la abscisa del punto de corte entre las gráficas de las funciones \( y=x\) y \(y=e^{-x} \). Para ello igualamos las dos funciones y obtenemos la ecuación \[x=e^{-x}\] Si realizamos la gráfica de las funciones \(y=x\) y \(e^{-x}\) vemos que se cortan en un punto y ese punto de corte es la solución de la ecuación Mediante el análisis gráfico llegamos a la conclusión que existe una única solución para esta ecuación, pero no la podemos determinar de forma exacta ya que no podemos aislar \(x\) en la ecuación anterior. Si definimos la función \(f(x)=e^{-x}-x\) las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\) son los valores de \(x\) en los puntos de corte de la gráfica de \(f(x)\) con el eje \(OX\). En este punto recordemos que nos dice el Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \( [a,b]\) y que cumple \( \...

En esta entrada vamos a hablar de como calcular los puntos de la gráfica de una función derivable donde la recta tangente a la gráfica es perpendicular a una recta \(y=mx+n\). Este tipo de ejercicio es muy parecido al que vimos en la entrada anterior Cálculo de los puntos donde la recta tangente es paralela a una recta dada . En el caso presente debemos recordar que si tenemos una recta con pendiente \(m\) una recta perpendicular a ella va a tener pendiente \(-\dfrac{1}{m}\). Como la pendiente de la recta tangente \(f(x)\) en un punto \(x\) es la derivada \(f^\prime (x)\) y queremos que sea tangente a la recta \(y=mx+n\) vamos a plantear la ecuación \[f^\prime (x) =-\dfrac{1}{m}\] Veamos un ejemplo práctico: Sean \(f(x)=\dfrac{x}{1+x}\) y \(-x-y+2=0\) una función y una recta. Vamos a buscar en que puntos la tangente a \(f(x)\) es perpendicular a la recta. La pendiente de la recta la encontramos escribiéndola de forma explícita, es decir poniendo la \(y\) en función de la \(x\) \[y=-x+2...

Ya hemos visto como calcular la ecuación de la recta tangente en otra entrada Cálculo de la ecuación de la recta tangente . Otro tipo de problema muy común es buscar en que puntos la recta tangente es paralela a una recta dada \( y=mx+n\). Recordemos de primero de bachillerato que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, la pendiente de la recta tangente en un punto de abscisa \(x\) es la derivada \( f^\prime (x)\) y la pendiente de la recta que nos dan es \(m\). Entonces los puntos donde la recta tangente es paralela a la recta \( y=mx+n\) son aquellos en que las pendientes coinciden, es decir que para encontrar esos puntos vamos a plantear la ecuación \[f^\prime (x) =m \] Veamos un ejemplo, elegimos la función \(f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}\) y vamos a buscar en que puntos la recta tangente es paralela a la recta de ecuación \(-2x-y-1=0\). Veamos la gráfica de la recta y de la función En primer lugar para encontrar la pendiente de la recta debemos expresar la ecuación de la recta e...

En esta entrada vamos a hablar de como calcular la recta tangente a la gráfica de una función en un punto de abscisa x=a. Recordemos que la interpretación geométrica de la derivada nos dice que la derivada de la función \( f(x)\) en un punto con abscisa \( x=a\) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto \( (a,f(a))\). Recordemos que la ecuación de una recta con pendiente \(m\) que pasa por un punto \((x_0,y_0)\) puede escribirse de la forma siguiente \[y-y_0 = m (x-x_0)\] Bien, en el caso de la recta tangente a la gráfica de la función \( f(x)\) la recta debe ser tangente a la gráfica de la función en el punto \( (a,f(a))\) y la pendiente de la recta es la derivada \( f^\prime (a)\).Así pues la ecuación de la recta anterior queda para la recta tangente como \[y-f(a)=f^\prime (a) (x-a)\] Veamos un ejemplo, dada la función \( f(x)=\dfrac{x}{e^x}\) vamos a calcular la recta tangente a \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=0\). Vamos a aplicar la fórmula ant...