Juanjo Mates

Una de las principales aplicaciones del teorema de Bolzano es la aproximación de soluciones de ecuaciones. Vamos a intentar aproximar el valor de la abscisa del punto de corte entre las gráficas de las funciones \( y=x\) y \(y=e^{-x} \). Para ello igualamos las dos funciones y obtenemos la ecuación \[x=e^{-x}\] Si realizamos la gráfica de las funciones \(y=x\) y \(e^{-x}\) vemos que se cortan en un punto y ese punto de corte es la solución de la ecuación Mediante el análisis gráfico llegamos a la conclusión que existe una única solución para esta ecuación, pero no la podemos determinar de forma exacta ya que no podemos aislar \(x\) en la ecuación anterior. Si definimos la función \(f(x)=e^{-x}-x\) las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\) son los valores de \(x\) en los puntos de corte de la gráfica de \(f(x)\) con el eje \(OX\). En este punto recordemos que nos dice el Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \( [a,b]\) y que cumple \( \...

En esta entrada vamos a hablar de como calcular los puntos de la gráfica de una función derivable donde la recta tangente a la gráfica es perpendicular a una recta \(y=mx+n\). Este tipo de ejercicio es muy parecido al que vimos en la entrada anterior Cálculo de los puntos donde la recta tangente es paralela a una recta dada . En el caso presente debemos recordar que si tenemos una recta con pendiente \(m\) una recta perpendicular a ella va a tener pendiente \(-\dfrac{1}{m}\). Como la pendiente de la recta tangente \(f(x)\) en un punto \(x\) es la derivada \(f^\prime (x)\) y queremos que sea tangente a la recta \(y=mx+n\) vamos a plantear la ecuación \[f^\prime (x) =-\dfrac{1}{m}\] Veamos un ejemplo práctico: Sean \(f(x)=\dfrac{x}{1+x}\) y \(-x-y+2=0\) una función y una recta. Vamos a buscar en que puntos la tangente a \(f(x)\) es perpendicular a la recta. La pendiente de la recta la encontramos escribiéndola de forma explícita, es decir poniendo la \(y\) en función de la \(x\) \[y=-x+2...

Ya hemos visto como calcular la ecuación de la recta tangente en otra entrada Cálculo de la ecuación de la recta tangente . Otro tipo de problema muy común es buscar en que puntos la recta tangente es paralela a una recta dada \( y=mx+n\). Recordemos de primero de bachillerato que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, la pendiente de la recta tangente en un punto de abscisa \(x\) es la derivada \( f^\prime (x)\) y la pendiente de la recta que nos dan es \(m\). Entonces los puntos donde la recta tangente es paralela a la recta \( y=mx+n\) son aquellos en que las pendientes coinciden, es decir que para encontrar esos puntos vamos a plantear la ecuación \[f^\prime (x) =m \] Veamos un ejemplo, elegimos la función \(f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}\) y vamos a buscar en que puntos la recta tangente es paralela a la recta de ecuación \(-2x-y-1=0\). Veamos la gráfica de la recta y de la función En primer lugar para encontrar la pendiente de la recta debemos expresar la ecuación de la recta e...

En esta entrada vamos a hablar de como calcular la recta tangente a la gráfica de una función en un punto de abscisa x=a. Recordemos que la interpretación geométrica de la derivada nos dice que la derivada de la función \( f(x)\) en un punto con abscisa \( x=a\) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto \( (a,f(a))\). Recordemos que la ecuación de una recta con pendiente \(m\) que pasa por un punto \((x_0,y_0)\) puede escribirse de la forma siguiente \[y-y_0 = m (x-x_0)\] Bien, en el caso de la recta tangente a la gráfica de la función \( f(x)\) la recta debe ser tangente a la gráfica de la función en el punto \( (a,f(a))\) y la pendiente de la recta es la derivada \( f^\prime (a)\).Así pues la ecuación de la recta anterior queda para la recta tangente como \[y-f(a)=f^\prime (a) (x-a)\] Veamos un ejemplo, dada la función \( f(x)=\dfrac{x}{e^x}\) vamos a calcular la recta tangente a \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=0\). Vamos a aplicar la fórmula ant...

En esta entrada vamos a hablar de una de las formas de simplificar radicales. Pensemos por ejemplo en el caso \(\sqrt[3]{81}\), el número 81 factoriza de la forma siguiente \(81=3^4\) y por lo tanto tenemos \[\sqrt[3]{3^4}\] Bien, vemos que tenemos dentro de la raíz una potencia cuarta, y como el exponente es mayor que el índice de la raíz podemos pensar en reescribir está potencia como un producto de potencias en el que aparezca un cubo, es decir \[\sqrt[3]{3^3 \cdot 3}\] Ahora recordemos que la raíz de un producto es producto de raíces y por lo tanto podemos escribir \[\sqrt[3]{3^3 \cdot 3}=\underbrace{\sqrt[3]{3^3 }}_{\text{raíz exacta}} \cdot \sqrt[3]{3}=3 \sqrt[3]{3}\] Y con esto hemos llegado a que la raíz cúbica de 81 es equivalente al triple de la raíz cúbica de tres.Veamos otro ejemplo, consideremos en este caso la raíz cuadrada de 128. El número 128 factoriza como \(128=2^7\) y siguiendo el ejemplo inicial lo que vamos a hacer en este caso es hacer grupos de cuadrados \(...

En este entrada vamos a ver como hacer el cálculo de derivadas utilizando la definición. Recordemos que la derivada de una función \(f(x)\) en un punto x=a se define como \[f^\prime(a) = \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\] o la equivalente \[f^\prime(a) = \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\] Vamos a utilizar la primera expresión para calcular por ejemplo la derivada de \( f(x)= \sqrt{x}\) en \( x=1\).Si aplicamos la definición tenemos el límite \[f^\prime(1) =\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+h} - 1}{h}=\dfrac{0}{0} \; \text{IND}\] Vemos que en este caso nos aparece una indeterminación \( 0/0\). Para resolverla multiplicamos numerador y denominador por \( \sqrt{1+h} + 1\), el conjugado del numerador, que es el término que presenta la raíz \[\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+h} - 1}{h}= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(\sqrt{1+h} +1)(\sqrt{1+h} - 1)}{h (\sqrt{1+h} +1)}=\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{1+h-1}{...

En esta entrada vamos a ver como podemos derivar funciones del tipo \( f(x)=g(x)^{h(x)}\) como por ejemplo \(f(x)=x^{\sin(x)}\).Si observamos las reglas de derivación que conocemos es evidente que ninguna de ellas se ajusta a este caso, así que hay que pensar en otra cosa.Lo que se hace es aprovechar las propiedades de la función logaritmo, está es una función creciente y tiene la propiedad \( \ln(a^b)=b \ln(a)\). En primer lugar escribimos nuestra función \[f(x)=x^{\sin(x)}\] Ahora aplicamos logaritmos a los dos lados de la expresión \[\ln[f(x)]=\ln [x^{\sin(x)}]\] La propiedad \( \ln(a^b)=b \ln(a)\) del logaritmo nos permite extraer el exponente \( \sin(x)\) fuera del logaritmo \[\ln[f(x)]=\sin(x)\cdot \ln (x)\] de forma que en el lado derecho tenemos un producto de funciones que si sabemos derivar.El siguiente paso es derivar de forma implícita los dos lados de esta ecuación, es decir derivamos ambos lados respecto de \(x\) \[\dfrac{f^\prime (x)}{f(x)} = \cos(x) \cdot \ln(x) +...