Extraer factores de un radical:

En esta entrada vamos a hablar de una de las formas de simplificar radicales. Pensemos por ejemplo en el caso \(\sqrt[3]{81}\), el número 81 factoriza de la forma siguiente \(81=3^4\) y por lo tanto tenemos \[\sqrt[3]{3^4}\] Bien, vemos que tenemos dentro de la raíz una potencia cuarta, y como el exponente es mayor que el índice de la raíz podemos pensar en reescribir está potencia como un producto de potencias en el que aparezca un cubo, es decir \[\sqrt[3]{3^3 \cdot 3}\] Ahora recordemos que la raíz de un producto es producto de raíces y por lo tanto podemos escribir \[\sqrt[3]{3^3 \cdot 3}=\underbrace{\sqrt[3]{3^3 }}_{\text{raíz exacta}} \cdot \sqrt[3]{3}=3 \sqrt[3]{3}\] Y con esto hemos llegado a que la raíz cúbica de 81 es equivalente al triple de la raíz cúbica de tres.Veamos otro ejemplo, consideremos en este caso la raíz cuadrada de 128. El número 128 factoriza como \(128=2^7\) y siguiendo el ejemplo inicial lo que vamos a hacer en este caso es hacer grupos de cuadrados \(2^2\) con el producto \(2^7 \) \[\sqrt{128}=\sqrt{2^7}=\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2}\] y como las raíces cuadradas de cuadrados son exactas, la cosa se simplifica a \[2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}=2^3 \sqrt{2}=8 \sqrt{2}\] Si meditamos sobre lo que hemos hecho, vemos que teníamos 7 doses y los hemos agrupado de dos en dos, de forma que nos han salido tres grupitos de dos doses y ha sobrado un dos que es el que queda dentro de la raíz, es decir que hemos dividido 7 entre 2 obteniendo de cociente 3 y de resto 1.
El cociente nos ha dado el número de grupitos de doses que podemos realizar y coincide con el exponente del 2 fuera de la raíz y el resto nos dice que sobra un 2 que es el queda dentro de la raíz. Siguiendo este razonamiento si tenemos una raíz \(\sqrt[n]{a^m}\) con \(m>n\) podemos reescribirla de la forma siguiente \[\sqrt[n]{a^m}= a^c \sqrt[n]{a^r}\] donde \( c\) es el cociente de la división de \(m \div n\) y \( r\) es el resto de esa división.

De esta forma podemos ir más rápido al simplificar este tipo de expresiones, como por ejemplo

\[\sqrt[4]{a^{15} b^{10} c^{12}}\] Dividimos cada exponente entre el índice de la raíz, 4 en este caso
de forma que como hemos visto el cociente de la división será el exponente de los factores que extraemos fuera de la raíz y el resto el exponente de los factores que quedan dentro de la raíz. \[\sqrt[4]{a^{15} b^{10} c^{12}}=a^3 b^2 c^3 \sqrt{a^3 b^2}\] Observemos que en la tercera división que corresponde al factor c, el resto es 0 lo que nos indica que no sobra ninguna c y por lo tanto no queda ninguna dentro de la raíz (o en todo caso sería \(c^0\) que como sabemos es igual a 1).

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