Juanjo Mates

Pequeño ejemplo de resolución de una integral mediante cambio de variable.

Veamos un ejemplo de resolución de un problema de optimización. En este caso el ejercicio procede de un examen de selectividad del año 2007 en Cataluña.

Dentro del conjunto de integrales que son inmediatas también las hay de funciones compuestas. En este caso vamos a centrarnos en \[\int (f(x))^n \cdot f^\prime (x) \, dx = \dfrac{(f(x))^{n+1}}{n+1} + C, \; n \neq -1 \] Es fácil ver que derivando el lado derecho mediante el uso de la regla de la cadena obtenemos la función que hay dentro de la integral. Una integral casi inmediata esuna integral que mediante alguna manipulación se puede transformar en una integral inmediata de este tipo. Veamos un ejemplo

Enunciado: Dada la función \( f(x)=\frac{1}{2} - \sin(x)\) calcular el área del recinto delimitado por la gráfica de la función y el eje de abscisas entre \( x=0\) y \( x=-\frac{\pi}{2}\). Resolución: Tenemos planteado un problema de cálculo de área mediante integración. En primer lugar vamos a determinar los puntos de corte de la función \( f(x)\) con el eje de abscisas en el intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}]\). Encontramos estos punto igualando la función a cero \[\dfrac{1}{2} - \sin(x)=0 \Rightarrow \dfrac{1}{2}= \sin(x) \] Para encontrar el valor de x calculamos el arcoseno de \( \frac{1}{2}\), que es \(\frac{\pi}{6}\) (Importante, las medidas angulares se deben expresar en radianes) y esta es la única solución que hay entre 0 y \( \frac{\pi}{2}\). Hemos buscado este punto, porque en este punto la gráfica de la función corta al eje de abscisas y por lo tanto la función cambia de signo. Si integramos directamente la integral entre 0 y \( \frac{\pi}{2}\) no encontraremos el valor real...

Las integrales más fáciles de resolver son las de tipo potencial \(x^n\) \[\boxed{\int x^{n} \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, \; (n \neq -1)}\] Utilizando esto y las propiedades de la integral podemos integrar cualquier función polinómica \[\int 2x^3 - 5x^2 +3x-1 \, dx = 2 \dfrac{x^4}{4} - 5 \dfrac{x^3}{3} + 3 \dfrac{x^2}{2} -x +C\] La cosa no tiene ninguna dificultad. Utilizando esto también podemos integrar funciones que no son polinomios, consideremos por ejemplo \[\int \dfrac{x}{\sqrt[4]{x^3}} - \dfrac{2}{\sqrt{x}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx\] Recordando que \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\) y que \( \frac{1}{x^n}=x^{-n}\) podemos reducir la función que tenemos a una suma de funciones potenciales que ya sabemos como integrar \[\int \dfrac{x}{x^{\frac{3}{4}}} - \dfrac{2}{x^{\frac{1}{2}}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx \] El primer término \( \frac{x}{x^{\frac{3}{4}}}\) es un cociente de dos potencias con la misma base, por lo tanto el resultado es una potencia con la misma base y un exponente qu...