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Teorema de Bolzano: Aplicación en la resolución de ecuaciones

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Una de las principales aplicaciones del teorema de Bolzano es la aproximación de soluciones de ecuaciones. Vamos a intentar aproximar el valor de la abscisa del punto de corte entre las gráficas de las funciones \( y=x\) y \(y=e^{-x} \). Para ello igualamos las dos funciones y obtenemos la ecuación \[x=e^{-x}\] Si realizamos la gráfica de las funciones \(y=x\) y \(e^{-x}\) vemos que se cortan en un punto y ese punto de corte es la solución de la ecuación Mediante el análisis gráfico llegamos a la conclusión que existe una única solución para esta ecuación, pero no la podemos determinar de forma exacta ya que no podemos aislar \(x\) en la ecuación anterior. Si definimos la función \(f(x)=e^{-x}-x\) las soluciones de la ecuación \(f(x)=0\) son los valores de \(x\) en los puntos de corte de la gráfica de \(f(x)\) con el eje \(OX\). En este punto recordemos que nos dice el Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \( [a,b]\) y que cumple \( \...
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Problema de Optimización de Bachillerato, Selectividad (Selectividad Cataluña 2020)

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Dada la función \(f(x)=\frac{1}{x^2}+1\), trazamos la recta tangente en un punto \((a,f(a))\) del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forma un triangulo rectangulo. Buscar el valor de \(a\) para el que el área del triangulo es mínima. Veamos una representación gráfica de la función y una de las posibles rectas tangentes \ Vemos como la recta tangente forma un triangulo rectangulo con los ejes de coordenadas. La base del triangulo es la abscisa del punto de corte de la recta con el eje OX en el caso del dibujo 2, y la altura del triangulo es la ordenada del punto de corte de la recta con el eje OY en el caso del dibujo es 4. Vamos ahora a considerar el caso para un punto cualquiera \(x=a\). La recta tangente en \(x=a\) la calculamos a partir de la expresión \[y-f(a)=f^\prime (x-a)\] Calculamos \(f(a)\) y \(f^\prime(a)\) \[f(a)=\dfrac{1}{a^2} +1\] \[f^\prime(x)= - \dfrac{2}{x^3}\] \[f^\prime(a)= - \dfrac{2}{a^3}\] Sustituyendo en la fórmula obtenemos...
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