LOGARITMOS:

En esta entrada vamos a hablar de los logaritmos, el logaritmo en base \( a \) de un número \( y \) es el número \( x\) que cumple \( y=a^x\), es decir que el logaritmo nos da el exponente que al que debemos elevar la base \( a\) para obtener \( y\). La notación que se utiliza es \( \log_{a} (y)=x\). Podemos resumir todo esto mediante de la forma siguiente \[\log_a (y)=x \Leftrightarrow a^x=y\] Así por ejemplo es fácil ver que \( \log_2 (8)=3\) porque \(2^3 =8\). En ciertos casos podemos calcular logaritmos sin necesidad de calculadora si sabemos como expresar el número del que queremos calcular el logaritmo como potencia con la base del logaritmo. Por ejemplo \(\log_{5} \sqrt[3]{5}\), en este caso la raíz cúbica de 5 puede expresarse como una potencia en base 5 \(\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\), y si observamos la definición de logaritmo vemos que ya hemos acabado el trabajo puesto que el logaritmo es el exponente de esta potencia \[\log_5 (\sqrt[3]{5})= \log_5 (5^{\frac{1}{3}})=\dfrac{1}{3}\] Podemos encontranos algunos casos algo más complicados como por ejemplo \( \log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{32}\right)\). En este caso para encontrar el logaritmo podemos plantear la ecuación \[ \left( \dfrac{1}{2}\right)^x = \dfrac{\sqrt{2}}{32} \] donde el valor de \( x\) es el logaritmo. En primer lugar podemos simplificar el lado derecho de la ecuación utilizando las propiedades de las potencias \[\dfrac{\sqrt{2}}{32} =\dfrac{2^{\frac{1}{2}}}{2^5}=2^{\frac{1}{2} - 5} =2^{-\frac{9}{2}}\] Recordemos ahora que \( a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) \[2^{-\frac{9}{2}}=\dfrac{1}{2^{\frac{9}{2}}}=\left( \dfrac{1}{2}\right)^{\frac{9}{2}}\] y de esta forma hemos expresado el lado derecho de la ecuación como una potencia con base \( \frac{1}{2}\). Así pues la ecuación se puede escribir como \[ \left( \dfrac{1}{2}\right)^x = \left( \dfrac{1}{2}\right)^{\frac{9}{2}}\] de forma que \( x=\frac{9}{2} \) y \( \log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{32}\right)=\dfrac{9}{2}\)