LOGARITMOS:

En esta entrada vamos a hablar de los logaritmos, el logaritmo en base $a$ de un número $y$ es el número $x$ que cumple $y=a^x$, es decir que el logaritmo nos da el exponente que al que debemos elevar la base $a$ para obtener $y$. La notación que se utiliza es $\log_{a} (y)=x$. Podemos resumir todo esto mediante de la forma siguiente $$\log_a (y)=x \Leftrightarrow a^x=y$$ Así por ejemplo es fácil ver que $\log_2 (8)=3$ porque $2^3 =8$. En ciertos casos podemos calcular logaritmos sin necesidad de calculadora si sabemos como expresar el número del que queremos calcular el logaritmo como potencia con la base del logaritmo. Por ejemplo $\log_{5} \sqrt[3]{5}$, en este caso la raíz cúbica de 5 puede expresarse como una potencia en base 5 $\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}$, y si observamos la definición de logaritmo vemos que ya hemos acabado el trabajo puesto que el logaritmo es el exponente de esta potencia $$\log_5 (\sqrt[3]{5})= \log_5 (5^{\frac{1}{3}})=\dfrac{1}{3}$$ Podemos encontranos algunos casos algo más complicados como por ejemplo $\log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{32}\right)$. En este caso para encontrar el logaritmo podemos plantear la ecuación $$\left( \dfrac{1}{2}\right)^x = \dfrac{\sqrt{2}}{32}$$ donde el valor de $x$ es el logaritmo. En primer lugar podemos simplificar el lado derecho de la ecuación utilizando las propiedades de las potencias $$\dfrac{\sqrt{2}}{32} =\dfrac{2^{\frac{1}{2}}}{2^5}=2^{\frac{1}{2} - 5} =2^{-\frac{9}{2}}$$ Recordemos ahora que $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ $$2^{-\frac{9}{2}}=\dfrac{1}{2^{\frac{9}{2}}}=\left( \dfrac{1}{2}\right)^{\frac{9}{2}}$$ y de esta forma hemos expresado el lado derecho de la ecuación como una potencia con base $\frac{1}{2}$. Así pues la ecuación se puede escribir como $$\left( \dfrac{1}{2}\right)^x = \left( \dfrac{1}{2}\right)^{\frac{9}{2}}$$ de forma que $x=\frac{9}{2}$ y $\log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{32}\right)=\dfrac{9}{2}$