Racionalización :

Imaginemos que tenemos el número real \(\frac{3}{\sqrt{5}}\), vemos que en el denominador tenemos una raíz cuadrada.Racionalizar significa buscar una expresión equivalente sin el radical en el denominador.Lo podemos conseguir fácilmente multiplicando numerador y denominador por \(\sqrt{5}\) $$\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5^2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$$ Consideremos ahora un caso un poco distinto, por ejemplo \[\dfrac{3}{\sqrt[4]{5}}\] En este caso para eliminar el radical vamos a necesitar que dentro de la raíz haya una potencia cuarta, en este caso la forma de hacer esto es la siguiente, multiplicamos y dividimos por \(\sqrt[4]{5^3}\).¿por qué el 5 está elevado al cubo? Observemos que cuando multipliquemos \(\sqrt[4]{5}\) por \(\sqrt[4]{5^3}\) vamos a obtener la raíz cuarta de una potencia cuarta \(\sqrt[4]{5^4}=5\).Procedamos pues a multiplicar numerador y denominador por \(\sqrt[4]{5^3}\) \[\dfrac{3}{\sqrt[4]{5}} \cdot \dfrac{\sqrt[4]{5^3}}{\sqrt[4]{5^3}}=\dfrac{3\sqrt[4]{5^3}}{\sqrt[4]{5^4}}=\dfrac{3\sqrt[4]{125}}{5}\] Vamos ahora al tercer caso, un ejemplo del cual puede ser la expresión \[\dfrac{5}{2\sqrt{5} -\sqrt{3}}\] en este caso en el denominador aparece una expresión del tipo \(a \sqrt{A} + b \sqrt{B}\).Para eliminar las raíces del denominador vamos a utilizar el producto notable \((a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2\), multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador \( 2\sqrt{5} + \sqrt{3}\) (cambiamos el signo entre los dos sumandos) \[\dfrac{5}{2\sqrt{5} -\sqrt{3}} \cdot \dfrac{2\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2\sqrt{5} + \sqrt{3}}=\dfrac{5(2\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}=\dfrac{10\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{4 \cdot 5 - 3}=\dfrac{10\sqrt{5}+5\sqrt{3}}{17}\]

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