Las progresiones aritméticas

(1) ¿Qué es una progresión aritmética?

Pensemos en la lista de los números impares: 1,3,5,7,9,11, ... Vemos que dado un impar para encontrar el siguiente impar de la lista hay que sumar un 2. Este es un ejemplo de progresión aritmética, una sucesión numérica donde para calcular cada valor debemos sumar un valor fijo al valor anterior. El valor fijo que sumamos se llama diferencia que en el caso anterior de los números impares es 2. Para generar una progresión también necesitamos fijar el primer valor.

(2) Término general de una progresión aritmética

Cuando tenemos una sucesión númerica indicamos de formaa simbólica sus elementos de la forma siguiente \[a_1, a_2, ..., a_n, ...\] Así \(a_1\) es el primer término de la sucesión, \(a_2\) es el segundo y así sucesivamente. \(a_n\) representa el término situado en una posición \(n\). El término general de la progresión es una expresión que nos permite calcular cualquier término de la progresión, en el caso de las progresiones aritméticas esta expresión es \[a_n =a_1 + d\cdot(n-1)\] En esta fórmula hay dos parámetros que tenemos que fijar, el primer témino \(a_1\) y la diferencia \(d\). Por ejemplo en el caso de los números impares, \(a_1=1\) y \(d=2\) de forma que el término general de la sucesión de números impares es \[a_n =1+2(n-1) \Rightarrow a_n = 2n-1\] Con esta fórmula podemos calcular por ejemplo cual es el número impar en la posición 1 millón sustituyendo la \(n\) por 1000000 \[a_{1000000}=2\cdot 1000000 -1 =1999999\]

Suma de los \(n\) primeros términos de una progresión aritmética

Imaginemos que dada una progresión aritmética \(a_n=a_1 +d(n-1)\) queremos calcular la suma de los \(n\) primeros términos de la progresión, es decir \[S_n =a_1 + a_2 + ... +a_n\] La pregunta que nos hacemos es si podemos encontrar una expresión para hacer este cálculo sin tener que estar sumando todos los sumandos. La respuesta es que si, para ello podemos realizar el truco que hizo el joven Carl Friedrich Gauss para realizar la suma de los 100 primeros números

Se cuenta la anécdota de que, a sus nueve años, durante la clase de aritmética, el maestro propuso el problema de sumar los números del 1 al 100, con la mera finalidad de mantener entretenidos a los chicos. Gauss halló la respuesta correcta al cabo de poquísimo tiempo. Cuando terminó la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros. Él, en vez de sumar directamente, había observado que tomando los números por pares, el primero y el último, luego el segundo y el penúltimo, y así sucesivamente, se obtiene 100+1 = 99+2 = 98+3 = 101 …, es decir, lo que se le pedía era equivalente a multiplicar 101 x 50: el pequeño Gauss había descubierto la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. Wikipedia: Carl Friedrich Gauss

En nuestro caso, si sumamos el primer sumando con el último obtenemos \(a_1 +a_n\), si sumamos el segundo \(a_2\) con el penúltimo \(a_{n-1}\) obtenemos el mismo resultado ya que \(a_2\) es el término consecutivo de \(a_1\) y se obtiene sumandole \(d\) a \(a_1\) y \(a_{n-1}\) es el término anterior a \(a_n\) y se puede obtener restandole \(d\) a \(a_n\) de forma que las \(d\) se cancelan, y así sucesivamente. Esta suma podemos plantearla sumando nuestra suma inicial sumada con la misma suma pero ordenada al revés \[\ \begin{array}{ccccccccc} S_n & = & a_1 & + & a_2 & + & a_3 & + & ... & + & a_n \\ S_n & = & a_n & + & a_{n-1} & + & a_{n-2} & + & ... & + & a_1 \\ \end{array} \] Como ya hemos dicho todas las columnas suman \(a_1 +a_n\) \[a_2 + a_{n-1} =a_1+d +a_{n}-d=a_1 +a_n \] \[a_3 + a_{n-2}=a_2 +d + a_{n-1} -d=a_2 +a_{n-1}=a_1 +a_n\] y así sucesivamente. Es decir que todas las columnas dan \(a_1+a_n\) y tenemos \[2S_n =\underbrace{(a_1+a_n) + (a_1+a_n) + ... + (a_1+a_n)}_{\text{$n$ veces}}\] \[2S_n=n \cdot (a_1+a_n)\] y de aquí obtenemos una expresión para la suma de los \(n\) primeros términos \[\boxed{S_n=\dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}\] El problema de sumar los \(n\) primeros números naturales lo podemos resolver mediante esta fórmula, los números naturales son una progresión aritmética con \(a_1=1\) y \(d=1\) con lo que \(a_n=1+1\cdot(n-1)=n\) y la suma \[S_n =1+2+3+ ... + n= \dfrac{(1+n)n}{2}\] En el caso de \(n=100\) tenemos \(\frac{101\cdot 100}{2}= 5050\)