Juanjo Mates

En esta entrada vamos a hablar de los logaritmos, el logaritmo en base \( a \) de un número \( y \) es el número \( x\) que cumple \( y=a^x\), es decir que el logaritmo nos da el exponente que al que debemos elevar la base \( a\) para obtener \( y\). La notación que se utiliza es \( \log_{a} (y)=x\). Podemos resumir todo esto mediante de la forma siguiente \[\log_a (y)=x \Leftrightarrow a^x=y\] Así por ejemplo es fácil ver que \( \log_2 (8)=3\) porque \(2^3 =8\). En ciertos casos podemos calcular logaritmos sin necesidad de calculadora si sabemos como expresar el número del que queremos calcular el logaritmo como potencia con la base del logaritmo. Por ejemplo \(\log_{5} \sqrt[3]{5}\), en este caso la raíz cúbica de 5 puede expresarse como una potencia en base 5 \(\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\), y si observamos la definición de logaritmo vemos que ya hemos acabado el trabajo puesto que el logaritmo es el exponente de esta potencia \[\log_5 (\sqrt[3]{5})= \log_5 (5^{\frac{1}{3}})=\dfr...

Imaginemos que tenemos el número real \(\frac{3}{\sqrt{5}}\), vemos que en el denominador tenemos una raíz cuadrada.Racionalizar significa buscar una expresión equivalente sin el radical en el denominador.Lo podemos conseguir fácilmente multiplicando numerador y denominador por \(\sqrt{5}\) $$\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5^2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$$ Consideremos ahora un caso un poco distinto, por ejemplo \[\dfrac{3}{\sqrt[4]{5}}\] En este caso para eliminar el radical vamos a necesitar que dentro de la raíz haya una potencia cuarta, en este caso la forma de hacer esto es la siguiente, multiplicamos y dividimos por \(\sqrt[4]{5^3}\).¿por qué el 5 está elevado al cubo? Observemos que cuando multipliquemos \(\sqrt[4]{5}\) por \(\sqrt[4]{5^3}\) vamos a obtener la raíz cuarta de una potencia cuarta \(\sqrt[4]{5^4}=5\).Procedamos pues a multiplicar numerador y denominador por \(\sqrt[4]{5^3}\) \[\dfrac{3}{\sqrt[4]{5...