Juanjo Mates

Las integrales más fáciles de resolver son las de tipo potencial $x^n$ $$\boxed{\int x^{n} \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, \; (n \neq -1)}$$ Utilizando esto y las propiedades de la integral podemos integrar cualquier función polinómica $$\int 2x^3 - 5x^2 +3x-1 \, dx = 2 \dfrac{x^4}{4} - 5 \dfrac{x^3}{3} + 3 \dfrac{x^2}{2} -x +C$$ La cosa no tiene ninguna dificultad. Utilizando esto también podemos integrar funciones que no son polinomios, consideremos por ejemplo $$\int \dfrac{x}{\sqrt[4]{x^3}} - \dfrac{2}{\sqrt{x}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx$$ Recordando que $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$ y que $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$ podemos reducir la función que tenemos a una suma de funciones potenciales que ya sabemos como integrar $$\int \dfrac{x}{x^{\frac{3}{4}}} - \dfrac{2}{x^{\frac{1}{2}}} -\dfrac{3}{x^2} \, dx$$ El primer término $\frac{x}{x^{\frac{3}{4}}}$ es un cociente de dos potencias con la misma base, por lo tanto el resultado es una potencia con la misma base y un exponente qu...

Las ecuaciones irracionales son aquellas en que la incógnita x se encuentra en el interior de una raíz cuadrada. Por ejemplo $$\sqrt{x^2+2}-1= x$$ Para resolver este tipo de ecuaciones la idea es elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación para de esta forma eliminar la raíz. Lo primero que vamos a hacer en una ecuación como esta es aislar la raíz en un lado de la ecuación $$\sqrt{x^2+2}= x+1$$ Ahora elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuación $$\left( \sqrt{x^2+2} \right)^2= \left( x+1\right)^2$$ En el lado izquierdo eliminamos la raíz y cuidado con el lado derecho de la ecuación ya que nos aparece un producto notable $(a+b)^2=a^2 +2ab+b^2$ $$x^2+2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 \Rightarrow x^2+2=x^2+2x+1$$ Simplificando la ecuación obtenemos una ecuación de primer grado $$2=2x+1$$ ya muy fácil de resolver $$1=2x \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$$ ¿Con esto hemos acabado el problema? La respuesta es no, podría ser que las soluciones que obtengamos mediante este procedimiento no ...