Juanjo Mates

Ecuación vectorial de la recta Para definir una recta en el espacio vamos a necesitar un punto \( P=(x_0,y_0,z_0)\) que pertenezca a ella y un vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) con la misma dirección que la recta llamado vector director de la recta En el dibujo de arriba vemos que hemos puesto el origen del vector \(\vec{v}\) en el punto P, de forma que el vector apuntará a otro punto de la recta que podemos denominar como \(Q\). Si multiplicamos el vector por un número real \(\lambda\) obtenemos un vector \(\lambda \cdot \vec{v}\) que también estará sobre la recta pero tendrá una longitud distinta de forma que apuntará a otro punto distinto de la recta. Es decir que para cada punto de la recta existe un número real \( \lambda\) tal que el vector \( \lambda \cdot \vec{v}\) con origen en \(P\) apunta hacía el punto de la recta que hemos elegido. Esta es la idea de la ecuación de la recta, para obtener una ecuación debemos utilizar el vector de posición de un punto que recordemos que es ...

En el cálculo de la integral \[I(x)=\displaystyle \int \sqrt{1-x^2} \, dx\] utilizamos un cambio de variable trigonométrico basado en la relación fundamental de la trigonometria Relación fundamental de la Trigonometría: \[\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)=1\] si escribimos \[\cos(\theta) =\sqrt{1-\sin^2(\theta)}\] Vemos que tenemos una expresión parecida a lo que tenemos en el interior de la integral. Así pues la idea es realizar el cambio \[x=\sin(t)\] \[dx=\cos(t) \, dt\] Sustituyendo en la integral tenemos \[\int \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t) \, dt = \int \cos^2(t) \, dt\] Mediante este cambio de variable hemos eliminado la raíz y hemos obtenido la integral del coseno cuadrado. Para integrar esta (y también el seno cuadrado) utilizamos las siguientes identidades trigonométricas Integración de \( \cos^2 (x)\) y \( \sin^2(x)\) \[\cos^2(x) = \dfrac{1+ \cos (2x)}{2}\] \[\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\] En nuestro caso aplicamos la relación para coseno cuadrado de forma que nuestra i...