Juanjo Mates

Dada la función \(f(x)=\frac{1}{x^2}+1\), trazamos la recta tangente en un punto \((a,f(a))\) del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forma un triangulo rectangulo. Buscar el valor de \(a\) para el que el área del triangulo es mínima. Veamos una representación gráfica de la función y una de las posibles rectas tangentes \ Vemos como la recta tangente forma un triangulo rectangulo con los ejes de coordenadas. La base del triangulo es la abscisa del punto de corte de la recta con el eje OX en el caso del dibujo 2, y la altura del triangulo es la ordenada del punto de corte de la recta con el eje OY en el caso del dibujo es 4. Vamos ahora a considerar el caso para un punto cualquiera \(x=a\). La recta tangente en \(x=a\) la calculamos a partir de la expresión \[y-f(a)=f^\prime (x-a)\] Calculamos \(f(a)\) y \(f^\prime(a)\) \[f(a)=\dfrac{1}{a^2} +1\] \[f^\prime(x)= - \dfrac{2}{x^3}\] \[f^\prime(a)= - \dfrac{2}{a^3}\] Sustituyendo en la fórmula obtenemos...